【深造物理】從救護車聲到宇宙紅移：全面理解都卜勒效應
在香港的街頭，你可能最熟悉的物理現象之一，其實每天都在你耳邊出現：救護車駛近時鳴笛聲變尖，駛遠後音調忽然變低；維港的渡輪號角、港鐵列車進站的提示音，甚至在天文台網站看的雷達圖，都藏著同一個主角——都卜勒效應（Doppler effect）。這個現象不只關乎聲音，還牽涉光、電磁波、天氣監測、醫學超聲波以至探索遙遠星系的宇宙學。以下就由日常入手，帶你由「聽得見」走到「看不見」的波動世界。
什麼是都卜勒效應？一分鐘直觀版
任何波——包括聲波、水波、光和無線電——都有「波峰」與「波谷」。若發波的來源（或接收者）在沿著彼此連線的方向上移動，波峰到達接收者的間隔會改變：靠近時波峰更密（頻率變高、音調變尖、光偏藍），遠離時波峰更疏（頻率變低、音調變低、光偏紅）。這個因相對運動而引起的觀測頻率與波長改變，就是都卜勒效應。
- 頻率（frequency）：每秒到達的波峰數；音樂中對應「音高」。
- 波長（wavelength）：相鄰波峰之間的距離。
- 對聲波，媒介是空氣，聲速約 343 m/s（20°C）。
- 對光/電磁波，無需媒介，在真空以光速 c ≈ 3×10^8 m/s 傳播。
用香港的日常例子理解：救護車與渡輪號角
想像你站在彌敦道。救護車以約 72 公里/小時（約 20 m/s）駛近，鳴笛頻率大約 700 Hz。因為車在向你移動，前方發出的波峰被「擠密」，你聽到的頻率會更高；當車開過頭遠離你，波峰被「拉開」，你的耳朵接收到的頻率就更低。
用簡化公式估算（假設你不動、空氣靜止）：
- 接近時 f_obs ≈ f * c/(c − v_s) = 700 × 343/(343 − 20) ≈ 743 Hz
- 遠離時 f_obs ≈ f * c/(c + v_s) = 700 × 343/(343 + 20) ≈ 661 Hz
你聽到的就是那個經典的「過車點」音高跳變。維港的渡輪號角、電單車呼嘯而過、甚至天后廟前的喇叭車，都同一原理。
聲波的都卜勒效應（經典版）
聲波需透過空氣等媒介傳播，關鍵在於「沿視線方向的相對運動」。我們可把觀測頻率寫成：
f_obs = f_emit × (c_sound + v_obs,rad) / (c_sound − v_src,rad)
- c_sound：聲速（在 20°C 空氣約 343 m/s）。
- v_src,rad：音源沿著「朝向觀察者」方向的速度分量（向著觀察者為正）。
- v_obs,rad：觀察者沿著「朝向音源」方向的速度分量（向著音源為正）。
幾個重點：
- 只計算「沿線」分量：如果音源橫向掠過你，但最近接時刻瞬間並無「靠近或遠離」的分量，頻率在那一瞬間不變。
- 媒介重要：風向會令有效聲速在路徑上變快或變慢，造成微小偏差。
- 超音速與音爆（sonic boom）不是「更強的都卜勒」，而是壓縮波疊加成衝擊波；你會先「聽不到」，然後被震一下。
| 情況 | 觀測頻率 f_obs | 備註 |
|---|---|---|
| 音源動、觀察者靜 | f × c/(c ∓ v_s) | 向你靠近用負號（頻率升），遠離用正號（頻率降） |
| 音源靜、觀察者動 | f × (c ± v_o)/c | 向音源移動用加號，遠離用減號 |
| 兩者皆動 | f × (c + v_o,rad)/(c − v_s,rad) | 以沿線分量決定 |
光與電磁波的都卜勒效應（相對論版）
光在真空中不需要媒介，且速度恆為 c，因此要用狹義相對論。對沿視線純粹接近/遠離的情況（縱向都卜勒）：
- 定義 β = v/c，γ = 1/√(1 − β^2)。
- 接近：f_obs = f_emit × √((1 + β)/(1 − β))（頻率升、藍移）。
- 遠離：f_obs = f_emit × √((1 − β)/(1 + β))（頻率降、紅移）。
用波長表達更常見：1 + z = λ_obs/λ_emit。若是純粹因相對運動遠離，則 1 + z = √((1 + β)/(1 − β))。這裡的 z 就是天文學說的「紅移」（redshift）。
還有一個很重要的現象：橫向都卜勒效應（transverse Doppler）。即使物體在你看來作純粹橫向移動（瞬間沒有靠近或遠離），相對論的時間膨脹也會令你觀測到頻率變低：f_obs = f_emit/γ，這是純粹的時間膨脹效應。
宇宙學紅移：不是「穿越空間的速度」，而是「空間在伸展」
當我們觀測遙遠星系的光譜時，常見到整體向長波長偏移（紅移）。小紅移時（z 很小），可近似用都卜勒來理解：v ≈ cz；並得到哈勃–勒梅特定律（Hubble–Lemaître law）：v ≈ H0 d，H0 大約是每百萬秒差距約 70 公里/秒。但在宇宙學的標準模型裡，大紅移更準確的理解是「宇宙尺度因子 a(t) 在增大」，波長跟著被拉長：1 + z = a_now/a_emit。
- 因此，有些遙遠星系的「退行速度」可超過 c，這不違反相對論，因為不是在空間中超光速移動，而是「空間本身在擴張」。
- 在 z 很小時，宇宙學紅移與都卜勒紅移近似等效，故可用 v ≈ cz、H0 測距。
- 宇宙微波背景（CMB）的偶極各向異性，部分就是地球相對於 CMB 的都卜勒效應，顯示我們相對 CMB 有數百公里/秒級的運動。
在香港看見的都卜勒技術
- 香港天文台多普勒天氣雷達（Doppler weather radar）：位於大老山等站點的雷達能量照向降水粒子，藉由回波頻移量測風場的徑向速度，辨識暴雨、颱風雨帶與風切變。
- 機場風切變監測：香港國際機場部署多普勒雷達與激光雷達（Doppler LIDAR），偵測跑道附近危險的風場變化，提升航空安全。
- 交通執法與道路安全：警方與運輸部門使用微波雷達測速槍；私家車高級駕駛輔助系統（ADAS）也用毫米波雷達監測前向距離與相對速度。
醫療與工程應用：從血流到建築
- 多普勒超聲（Doppler ultrasound）：利用聲波反射於血球的頻移，量度血流速度與方向。實務上會校正與血管軸的夾角 θ，速度 v ≈ (Δf × c_sound)/(2 f0 cos θ)。
- 氣象雷達：藉回波相位連續變化估算徑向風（velocity dealiasing 技術可處理超過不模糊速度的情況）。
- 體育與工業：棒球投球測速、工地運動監測、無人機避障，皆以連續波或脈衝多普勒雷達實現。
進階：如何由頻移推算速度？
原理很簡單：速度越大，頻移越大。實作上要注意幾點。
- 量測 Δf：對連續波雷達，反射來回一次，頻移約 Δf ≈ 2v/λ（因為去程、回程各一次投影）。
- 只量到「徑向」速度 v_rad：若目標以角度 θ 移動，量到的是 v cos θ。角度估計可用多天線陣列或與光達/攝影機融合。
- 雜訊與雜波：雨滴、地面反射、海浪會產生寬頻的頻移分佈；工程上靠濾波、脈衝壓縮與動目標指示（MTI）技術分離。
具體數字例子（交通測速槍）：K 波段雷達 f0 ≈ 24.125 GHz，波長 λ ≈ c/f0 ≈ 1.24 cm。若車速 100 km/h（27.8 m/s），單站連續波雷達的頻移約 Δf ≈ 2v/λ ≈ 2×27.8/0.0124 ≈ 4.5 kHz。儀器以數位訊號處理（FFT）直接把這個頻移峰值轉成速度讀數。
天文學中的都卜勒：恆星擺動與宇宙結構
都卜勒效應是天文學的「速度尺」。
- 恆星徑向速度（radial velocity, RV）：光譜線位置的微小偏移對應恆星相對我們的靠近/遠離速度。高穩定光譜儀（如 HARPS、ESPRESSO）可量到 1 m/s 級別，能看見像地球牽動太陽那種「輕微擺動」。
- 系外行星搜尋（RV 法）：行星繞恆星轉，恆星也微微「繞共同質心」。這使得恆星的光譜線來回擺動，週期與振幅揭示行星的軌道與最小質量。近似振幅公式：
K ≈ (28.4 m/s) × (M_p sin i/M_J) × (P/1 yr)^(−1/3) × (M_*/M_⊙)^(−2/3)。 - 星系旋轉曲線：測量星系兩邊的紅/藍移，得知旋轉速度分佈，這是暗物質存在的關鍵證據之一。
- 射電天文與脈澤（maser）：水脈澤斑點的都卜勒速場可精確測量黑洞附近氣體盤的運動，甚至做幾何測距。
- 相對論噴流與增亮（relativistic beaming）：活動星系核的噴流若指向我們，因都卜勒增亮與時間壓縮，會顯得特別明亮且變化快速；射電干涉測量還會看到投影幾何下的「超光速」視運動假象。
比較：聲波、光的都卜勒與宇宙學紅移
| 類型 | 物理機制 | 代表公式 | 備註 |
|---|---|---|---|
| 聲波（經典） | 相對於媒介的運動改變波前間距 | f_obs = f × (c + v_o,rad)/(c − v_s,rad) | 依賴風、溫度等；不可超越介質中的相速度而不產生非線性效應 |
| 光/電磁波（相對論） | 時空的洛侖茲變換；時間膨脹與相位關係 | f_obs = f × √((1 ± β)/(1 ∓ β))（沿視線） | 無需媒介；存在橫向都卜勒（純時間膨脹） |
| 宇宙學紅移 | 宇宙尺度因子增大拉長波長 | 1 + z = a_now/a_emit | 小 z 時近似 v ≈ cz；大尺度上可見表觀超光速退行 |
常見誤解與易混淆之處
- 音量不是都卜勒：靠近時通常更響，但都卜勒效應說的是頻率/波長，不是聲壓級。
- 「對我橫向走」就沒有都卜勒？不是。只要有沿視線的速度分量，就有頻移；純「瞬間」橫向時徑向分量為零，因此頻率那一刻不變。
- 塵埃使光變紅不等於紅移：塵埃會吸收/散射短波長，更像「加了濾色片」，而紅移是整個光譜按比例平移。
- 音爆不是極端都卜勒：那是超音速時波前堆疊成的衝擊波。
- 宇宙學紅移不是違反光速：空間伸展不受狹義相對論的「局部速度限制」約束。
小練習：動手算一算
- 電單車以 90 km/h（25 m/s）駛近，喇叭頻率 500 Hz。你站著不動、無風。你聽到的頻率多少？
解：f_obs ≈ 500 × 343/(343 − 25) ≈ 500 × 1.078 ≈ 539 Hz。 - 警用 Ka 波段雷達 34.7 GHz 測一輛以 72 km/h（20 m/s）駛離的汽車，回波頻移約多少？
解：λ ≈ c/f ≈ 0.00864 m，Δf ≈ 2v/λ ≈ 2×20/0.00864 ≈ 4.6 kHz，但符號為負（遠離）。
從直觀到精密：都卜勒效應如何推動現代科學
從街頭的鳴笛到宇宙的紅移，都卜勒效應把「運動」轉譯為「可量度的頻率」。工程上，它讓我們量車速、看風、測血流；天文上，它揭示行星牽引恆星的擺動、星系的旋轉與宇宙的演化。概念其實很樸素：波峰疏密因相對運動而改變。但當我們把它與現代的訊號處理、相對論與宇宙學結合，這個日常可聞的現象，便成為理解自然的精密工具。
下次聽到救護車呼嘯而過，不妨在腦中把那一下音調轉折，連結到天文台雷達圖、到遠方星系的紅移。你聽見的不只是聲音，還是一門貫穿城市與宇宙的物理語言。
