【深造物理】認識愛因斯坦凝聚體，冷到極點，所有原子同聲合唱！

愛因斯坦凝聚體（Bose–Einstein condensate, BEC）就是物質在極端低溫下，眾多原子「同聲合唱」的量子狀態。這不是比喻過火，而是字面上的「同一個量子態」：大量原子失去個別身份，成為一個巨大的量子波。這篇文章帶你從零開始，了解它的來龍去脈、怎樣做出來、為何神奇、以及可用來做甚麼。

甚麼是愛因斯坦凝聚體？用日常語言先有畫面

在普通溫度下，氣體裡的原子像街上行人，各自走自己的路。但在超低溫，某些原子（被稱為「玻色子」boson）會開始「同步」，好像所有人突然唱同一個音、踏同一個拍。當同步程度高到極致，很多原子會一起掉進同一個最低能量的量子態，整體表現出「一體」的行為，這就是愛因斯坦凝聚體。

• 玻色子（boson）：自旋為整數（0, 1, 2, …）的粒子，遵從玻色–愛因斯坦統計（Bose–Einstein statistics），可以多個佔據同一量子態。
• 費米子（fermion）：自旋為半整數（1/2, 3/2, …）的粒子，遵從泡利不相容原理（Pauli exclusion principle），同一量子態最多一個。
• 關鍵差異：玻色子「愛群聚」，費米子「互相避讓」。

所以 BEC 的本質是：一大群玻色子在低溫下「群聚」到同一量子態，形成一朵相干（coherent）的「物質波雲」。

從預言到實現：一百年的科學旅程

1924–25 年，薩特延德拉·玻色（S. N. Bose）與愛因斯坦（A. Einstein）從統計物理推導出：若一群玻色子足夠冷、足夠稠密，會自發地湧入基態，出現「凝聚」。然而，要把原子冷到比外太空還冷的溫度，直到 1990 年代才辦到。

• 1995 年：康奈爾（Eric Cornell）與維曼（Carl Wieman）在銣-87（Rb-87）氣體中首次製得 BEC；同年，凱特利（Wolfgang Ketterle）在鈉-23（Na-23）實現並量測其相干性。三人因此獲 2001 年諾貝爾物理學獎。
• 此後：實驗拓展至鋰-7、鉻、鐿（Er）、鏑（Dy）等，乃至分子與準粒子（如極化子 polariton）凝聚，開啟量子流體的大觀園。

為何要「超冷」？從德布羅意波長到臨界條件

每個粒子都有一條「德布羅意波」（de Broglie wave），其波長 λ 與動量 p 成反比：動得越慢，波越長。要讓原子彼此「重疊」成同一波，就要讓 λ 大到覆蓋周遭的平均粒子間距。這件事在高溫很難，因為原子亂竄、波長短；只有把溫度降到納開爾文（nK）量級，波長才長到能「蓋過」彼此。

一個實用的判據是「相空間密度」（phase-space density）D ≡ n × λ_dB^3，當 D 超過約 2.6 時（更嚴謹地說是里曼 ζ 函數 ζ(3/2) ≈ 2.612），就會發生凝聚。直觀上：粒子夠慢（波長夠長）、數量夠密（平均距離夠短），波與波重疊成一體。

怎樣把原子冷到納開爾文？實驗流程速寫

做 BEC 的實驗室和一般你想像的「冷凍庫」完全不同。我們用光與磁場當「鑷子」，逐步把原子慢慢降溫、收集、過濾，過程像「吹涼熱湯」＋「篩走熱分子」。

• 雷射冷卻（laser cooling）：用調頻到略低於原子躍遷頻率的雷射，讓原子迎光時吸收光子、被「頂住」減速；再自發放光向各方向，整體動量平均減少。這是「多次逆風拍打」的物理版。可達「都卜勒極限」（Doppler limit），再用「次都卜勒」機制（如 Sisyphus cooling）更冷。
• 磁光阱（MOT, magneto-optical trap）：磁場梯度＋對向雷射把原子「捧」在空間中心，像用多隻手把乒乓球困住。
• 蒸發冷卻（evaporative cooling）：轉到純磁阱或光偶極阱（optical dipole trap），慢慢調降「圍牆」高度，讓最熱的原子先逃走（像熱湯表面吹走最熱蒸氣），留下來的平均更冷。這步把溫度推進到 nK 領域，是形成 BEC 的關鍵。
• 成像與判定：關掉陷阱，讓原子自由膨脹一段時間（time-of-flight, TOF），用吸收成像量測密度分佈。達到 BEC 時，會看到「雙峰」分佈：中央一個尖銳的凝聚峰（動量窄、相干），外面是一個寬廣的熱雲。

整個流程在超高真空（~10^-11–10^-10 mbar）中進行，以避免原子被環境「撞熱」。

凝聚之後有甚麼「超能力」？從相干性到超流

• 長程相干（coherence）：BEC 有明確的整體相位（phase），像一台完美調音的合唱團。兩團 BEC 疊加會產生干涉條紋（interference），證明其「物質波雷射」本質。
• 超流（superfluidity）：以足夠慢的速度擾動它，流體無黏滯地流動，不耗散能量。臨界速度由集體激發譜決定（Landau 判據）。
• 量子渦旋（quantized vortices）：讓 BEC 旋轉會出現離散的渦旋線，環流量以 h/m 量子化，眾多渦旋可排成有序晶格，這是量子流體的經典指紋。
• 聲子與集體模（phonons and collective modes）：小擾動以聲子的形式傳遞，低動量下呈線性色散，聲速 c ≈ √(gn/m)，其中 g 與散射長 a_s 有關。

理論上怎樣描述 BEC？Gross–Pitaevskii 方程的角色

在弱相互作用、低溫、稠密度適中的條件下，BEC 的「秩序參量」ψ(r,t)（可理解為巨觀波函數）服從非線性薛丁格方程，即 Gross–Pitaevskii equation（GPE）：

iħ ∂ψ/∂t = [ −(ħ^2/2m)∇^2 + V(r) + g|ψ|^2 ] ψ

• g = 4πħ^2 a_s / m，a_s 為 s 波散射長（s-wave scattering length），描述低能碰撞的有效強度。
• 癒合長度（healing length）ξ ≈ ħ / √(2mgn)，給出密度從缺陷邊緣恢復到均勻值的尺度；渦核大小約為 ξ。
• 托馬斯–費米極限（Thomas–Fermi）：相互作用能主導時，密度分佈由外加位形勢決定，動能項相對可忽略。

用 GPE 可預測渦旋結構、集體振動頻率、干涉圖樣，與實驗高度吻合。更進一步，Bogoliubov 理論描述小擾動的準粒子譜，解釋超流的臨界速度與低溫熱容行為。

互動可被「旋鈕」控制：Feshbach 共振

一大特色是：我們能用磁場調控散射長 a_s（Feshbach resonance），等於把原子之間的「吸引或排斥力」當旋鈕轉。這讓研究者能在弱相互作用、強相互作用與近似無相互作用之間切換，探索不同量子流體相態。對費米氣體，更可實現 BEC–BCS 跨越（從束縛分子凝聚到庫珀對超流）。

不只一種 BEC：自旋、偶極與準粒子

• 自旋 BEC（spinor BEC）：把原子的內部自旋自由度也釋放出來（例如 Rb 與 Na 的多重 m_F 態），出現鐵磁/反鐵磁序、磁畴、拓撲缺陷等豐富現象。
• 偶極 BEC（dipolar BEC）：像 Dy、Er 具強磁偶極矩，帶來長程、各向異性相互作用，會產生「類 roton」激發譜，甚至觀察到密度起伏與超流相干共存的「超固體」（supersolid-like）態。
• 準粒子凝聚：在半導體微腔中，光與激子混成的極化子（polariton）可在常溫附近出現凝聚，時間尺度短、非平衡，但展現相干發光；此外還有激子、磁振子等系統的凝聚現象。

與其他量子流體比較：別把 BEC 和氦超流或費米海混為一談

系統	粒子類型	相互作用	特徵	備註
稀薄氣體 BEC	玻色子原子（如 Rb, Na）	弱、可調（Feshbach）	長程相干、量子渦旋、可成像與操控	溫度 nK–μK，理論與實驗高度可比
氦-4 超流	玻色子（原子）	強相互作用	超流、二聲子、噴泉效應	不是理想 BEC，凝聚分率有限（~10%）
退相干費米氣	費米子（如 6Li, 40K）	可調	泡利原理主宰，形成費米面	配對後可出現 BCS 超流或分子 BEC
超導體	電子（成對為玻色子）	有效吸引（聲子介導）	零電阻、邁斯納效應	庫珀對凝聚，載流子是帶電對

維度很重要：一維、二維的「準凝聚」與 BKT 轉變

在無限大、嚴格的一維或二維系統中，熱漲落會破壞真正長程有序（Mermin–Wagner 定理）。但在實驗的有限陷阱裡，我們能看到「準凝聚」（quasi-condensate）：密度波動被抑制，但相位在遠距離仍有起伏。

• 2D 的 BKT 轉變（Berezinskii–Kosterlitz–Thouless）：不是「傳統凝聚」，而是渦旋–反渦旋對的束縛–解束縛轉變，臨界點上超流剛剛出現。
• 1D 量子氣：展現強烈漲落，如 Tonks–Girardeau 氣體，玻色子表現得像「不可穿越」的費米子。

可以用來做甚麼？從原子幹涉儀到量子模擬

• 原子幹涉儀（atom interferometry）：把 BEC 當「物質波雷射」，用光脈衝分束與合束，測量重力加速度、旋轉與慣性力。高靈敏度的冷原子重力儀已用於地質探勘、隧道安全與基準計量。
• 精密測量：測試等效原理、尋找常數漂移、量測范德瓦耳斯力或 Casimir–Polder 作用；BEC 的低溫與相干性讓系統雜訊降到極低。
• 量子模擬（quantum simulation）：把 BEC 放進光學晶格（optical lattice）裡，實現玻色 Hubbard 模型，觀察超流–莫特絕緣體（Mott insulator）量子相變；可仿真固態物理中難解的多體問題。
• 原子電路（atomtronics）：以 BEC 在環形陷阱中形成持續流，加入「弱連接」當作量子干涉元件，建構仿 SQUID 的精密感測器。
• 原子雷射（atom laser）：從 BEC 連續或脈衝式「抽取」相干原子束，作為新型量測與加工工具的基礎。

到太空去：微重力中的 BEC

在地面，重力會讓原子雲「下墜」，自由膨脹時間短。國際太空站上的 Cold Atom Lab（CAL）把 BEC 帶到微重力環境：可以更鬆地束縛、更久地自由飛行（數百毫秒至秒級），用以提升幹涉儀量測精度，並探索弱擾動下的量子流體動力學。要強調的是：這些是「類比實驗」與高精度量測平台，並非在太空中自然存在的大尺度 BEC 天體。

常見疑問與澄清

• 需要到「絕對零度」嗎？不需要。只要低於臨界溫度 T_c（取決於密度與原子質量），就能凝聚。實驗上的 BEC 多在 nK–μK。
• BEC 和「結冰」有關嗎？沒有。結冰是晶格有序的固化；BEC 是量子態的佔據現象，可以出現在稀薄氣體中。
• 會違反熱力學嗎？不會。凝聚是熱平衡或近似平衡下的相變，遵守熱力學與統計物理。
• 和超導一樣嗎？精神上相似（皆有宏觀量子相干），但載流體不同：超導是電子對、帶電；BEC 是中性原子，多在光學或磁性陷阱中觀察。
• 天文上有自然的 BEC 嗎？在已知的恆星或行星環境下，條件不易達成；關於暗物質凝聚等屬於理論探索，仍在研究與討論，尚無定論。本文聚焦於實驗室可驗證的 BEC。

從生活類比認識BEC：

• 人潮與步伐：旺角行人天橋上，每個人步速不同（高溫）；到了 BEC，大家忽然同速同向（相干）。
• 樂團調音：排練初期各吹各的（去相干）；指揮一揮，全部對上拍子與音高（凝聚）。
• 吹涼熱湯：蒸發冷卻就像吹走最熱的氣體分子，使整鍋更涼。
• 交通管制：雷射冷卻像警察在路口「逆向攔截」快車，迫它們減速。

展望：更可調、更複雜、更精準

未來幾個方向令人期待：

• 更強的可調性：結合多頻光場、微結構晶片陷阱（atom chips），在微米尺度上做「原子電路」與可程式量子流體。
• 長程與各向異性交互作用：偶極 BEC 與 Rydberg 激發原子的混合系統，探索新穎量子相（如超固體、更奇特的拓撲缺陷）。
• 非平衡凝聚：驅動–耗散系統中穩態相干（如極化子、聲子凝聚），連結量子光學與凝聚態物理。
• 高精度重力與地球物理：可搬運的原子幹涉儀，協助城市基建監測、地底空隙探測、甚至更精準的基準時間與導航。

結語：一朵可拿在手心的「量子雲」

愛因斯坦凝聚體讓我們第一次可以把「量子世界的同步」放大到肉眼可攝影、可操控的尺度：看見渦旋晶格，量到干涉條紋，像照相一般把基本物理寫在螢幕上。它既是極致低溫技術與精密控制的結晶，也是研究多體量子現象的理想舞台。對一般人來說，最值得帶走的一個印象是：當物質被冷到足夠低，個體的差異會被「相干」所淹沒，眾聲歸一，成為一朵可由我們設計、操控、甚至用來測量世界的量子雲。