【深造物理】甚麼是黑體輻射？
你可能看過燒紅的鐵、感受過冬天曬太陽的溫暖，也用過熱像儀在疫情時量體溫。這些現象背後，其實都指向同一個物理核心：黑體輻射(blackbody radiation)。它不只是熱學的課本內容，更是量子物理誕生的起點，也是我們理解太陽光譜、宇宙微波背景(Cosmic Microwave Background, CMB)與地球能量平衡的關鍵。本文用貼近日常的語言，帶你由廚房延伸到宇宙，扎實理解黑體輻射的概念、定律、數學骨架與應用。
什麼是「黑體」？先不要被名字嚇到
黑體(blackbody)是一種理想化的物體，特點只有一句話：對所有波長與入射方向的電磁波都「全吸收、全發射」。它表面不反射、不透射，入射多少能量，就會在熱平衡時以輻射的方式全部放回去。這是理解熱輻射的「標準參考」。
現實世界沒有完美黑體，但可以靠近它。例如在實驗室，把一個內壁塗黑、只有一個小孔的腔體加熱；小孔看出去就很接近理想黑體。這做法來自基礎的基爾霍夫定律(Kirchhoff’s law of thermal radiation)：在熱平衡下，同一波長與方向的「發射率(emissivity)」等於「吸收率(absorptivity)」。所以把吸收做到極致，就會發射得像黑體。
三條黃金定律：黑體光譜的「形、量、色」
- 普朗克定律(Planck distribution)：描述黑體在溫度 T 下，每個波長 λ 的光譜輻射亮度(spectral radiance) Bλ(T)。公式文字版：Bλ(T) = (2 h c^2 / λ^5) × 1 / (exp[h c / (λ k T)] − 1)。其中 h 是普朗克常數、c 是光速、k 是波茲曼常數。這條曲線決定了「形」。
- 斯特藩–玻爾茲曼定律(Stefan–Boltzmann law)：黑體每單位面積的總輻射功率 P/A = σ T^4，σ ≈ 5.6704 × 10−8 W·m−2·K−4。溫度每增加一點，輻射能量像「開外掛」地上升到四次方，這定律給「量」。
- 維恩位移定律(Wien’s displacement law)：光譜峰值的波長 λpeak ≈ b / T，b ≈ 2.898 × 10−3 m·K。溫度愈高，峰值愈往短波長(偏藍)移動，這定律給「色」。
一句話總結：熱得厲害，發得更猛(P ∝ T^4)，顏色往藍白移(λpeak ∝ 1/T)，而整條光譜的詳細形狀由普朗克定律決定。
經典物理的滑鐵盧：紫外災難與普朗克的量子躍遷
十九世紀末，物理學家試圖用「經典」想法計算黑體光譜，得到的是雷利–金斯定律(Rayleigh–Jeans law)：Bλ ≈ 2 c k T / λ4。它在長波(紅外)還勉強像樣，但在短波(紫外)預測能量無限增長，這被稱為紫外災難(ultraviolet catastrophe)。顯然與實驗不符。
1900 年，普朗克提出一個革命性的修正：電磁場與物質的能量交換不是連續的，而是以「能量小包」(量子, quantum)進行，每個頻率 ν 的能量單位是 E = h ν。這個假設帶來了正確的普朗克光譜：短波端被指數項 exp[h c/(λ k T)] 抑制，災難解除了。數年後，愛因斯坦把這個想法發展成光子(photon)的概念，量子論就此起步。
統計物理的骨架：光子是玻色子，化學位勢為零
把黑體看作「光子氣體」，每個頻率 ν 的平均佔據數是玻色–愛因斯坦統計(Bose–Einstein statistics)：n̄(ν) = 1 / [exp(hν/kT) − 1]。由於光子數目不是守恆(可以被牆壁吸收或放出)，光子的化學位勢為零，這正是普朗克分佈的來源。進一步可得輻射能量密度 u(T) = a T^4，其中 a = 4σ/c；輻射壓力 p = u/3。這些關係在恆星內部與早期宇宙都極為重要。
光譜、顏色與「峰值變數」的陷阱
黑體的「峰值」會因你用波長λ或頻率ν作為自變數而不同。以λ繪圖得的 λpeak 與以ν繪圖得的 νpeak 不對應同一個光子群，兩者轉換牽涉到雅可比因子(簡單說就是變數換算的尺度不同)。所以：
- 用維恩定律估顏色沒問題，但不要把 λpeak 直接換成 ν = c/λ 就說是「頻率峰值」。
- 人眼感知「顏色」還受視覺靈敏度影響，與純物理光譜峰值不同。
一張表看懂溫度與峰值波長
| 物體/場景 | 典型溫度 T | λ_peak ≈ 2.898×10−3/T (m) | 對應區域 |
|---|---|---|---|
| 太陽光球 | 約 5770 K | 約 500 nm | 可見光綠–黃附近 |
| 鎢絲燈泡 | 約 2700 K | 約 1.07 μm | 近紅外(可見紅端很強) |
| 人體皮膚 | 約 306 K (33°C) | 約 9.5 μm | 中紅外(熱像儀敏感) |
| 宇宙微波背景 CMB | 2.725 K | 約 1.06 mm | 微波 |
黑體不一定「看起來黑」：顏色取決於溫度與波段
「黑」指的是對各波長都全吸收、全發射，不是「肉眼看到的黑」。室溫下的黑體主要在紅外發光，人眼看不到，所以它「看起來黑」。把溫度拉高，它就先發暗紅、橙、到白。這也是為什麼金屬加熱到發紅，是它的熱輻射在可見光區域變強了。
你其實每天都在遇見黑體輻射
- 熱像儀與額溫量測：人體作為近似黑體在 8–14 μm 發強烈輻射，紅外相機依賴的正是這段光譜。
- 鎢絲燈泡 vs LED：鎢絲燈泡像黑體，效率不高因為大部能量在不可見的紅外；LED 是電子躍遷主導，不是黑體輻射。
- 廚房與炭爐：炭火、電熱圈發出的紅光，屬於熱輻射；電磁爐主要靠渦電流加熱鍋底，不是靠輻射。
- 衣服顏色：日照下，黑色衣服吸收可見光較多較熱；但夜間以紅外輻射散熱時，影響的是紅外發射率，不等同於可見的黑或白。真正的體感還要加上對流與出汗等因素。
真實材料：發射率(emissivity)與「灰體」(gray body)
多數材料不是完美黑體。用一個 0 到 1 的數字「發射率 ε(λ,θ)」描述它相對黑體的發射能力；若對所有波長都近似常數，就叫「灰體」。例如拋光鋁在中紅外的 ε 很低，所以保溫瓶內壁鍍銀能有效減少輻射散熱。相反，霧面黑漆在紅外區常有高發射率，熱像儀貼片常用此原理提高量測準確度。
方向上，許多擴散表面近似遵守朗伯餘弦定律(Lambertian)：看起來各方向亮度相同，但面向斜角的有效投影變小，使離開表面的總通量符合幾何直覺。
太陽、恆星與宇宙微波背景：黑體在天文的核心角色
- 太陽與恆星：太陽光球的連續譜近似黑體(約 5770 K)，但會疊加吸收線(弗勞恩霍夫線)，那是外層冷些的氣體選擇性吸收造成的。天文學家常用「有效溫度」與黑體擬合恆星的連續譜，估算半徑、亮度等。
- 宇宙微波背景(CMB)：CMB 幾乎是自然界最接近完美黑體的輻射，溫度 2.725 K，光譜與各向同性程度極高。它是大爆炸宇宙學的重要觀測支柱，微小的溫度起伏(約 10−5)記錄了早期宇宙的密度漲落。
輻射傳熱與地球氣候：T⁴ 的力量
地球從太陽接收可見光與近紅外，再以中紅外把能量輻射回太空。若把地球近似為黑(或灰)體，可估「有效溫度」約 255 K；但因溫室氣體吸收地表放出的紅外，再把部分能量回送，地表實際平均溫度約 288 K。設計建築節能時，材料的紅外發射率與選擇性輻射(如冷卻薄膜可在大氣窗 8–13 μm 強烈放射)正成為新興技術焦點。
怎樣在實驗室「做出」黑體？
最常見是「腔體黑體」：把高導熱材料(如銅)做成內部有多次反射的空腔，內壁塗高發射率塗料或碳基材料，控制腔體溫度，光從小孔洩出即近似黑體輻射。以此進行光譜儀校正、紅外相機定標。高階設施(如國家計量實驗室)甚至能把不確定度壓到 0.1% 級別。
用熱輻射測溫：色溫、輻射溫度與注意事項
- 光學高溫計(pyrometer)：用黑體模型或雙波長法估算發光物體溫度，常用於熔爐與金屬加工。
- 色溫(color temperature)：用某黑體溫度來對應光源「顏色」。LED 並非黑體，但可用相關色溫(CCT)描述觀感。
- 發射率校正：若忽略 ε，會導致輻射測溫偏差。工業上常貼「高發射率膠帶」或在已知 ε 的位置量測。
常見迷思
- 黑色衣服一定更熱？ 在日照下通常是，因可見光吸收較多；但夜間散熱看紅外發射率，黑白未必等同。體感還受風、濕度與布料結構影響。
- 紅外遙控器是熱輻射嗎？ 不是。遙控器是特定波長(多在 940 nm)的二極體主動發光，強度被電路調制，與黑體熱輻射不同。
- λpeak 在綠光，太陽應該是綠色？ 不是。太陽在整個可見光都很強，視覺整合後接近白；加上大氣散射會改變我們看到的色調。
更深入一點：從能量密度到輻射壓力
把黑體輻射視為光子氣體，可導出能量密度 u = a T^4，與壓力 p = u/3。這在恆星內層(高溫高密度)會影響靜力平衡；在早期宇宙(物質尚未主導之前)更是主控動力。這些關係也解釋了為何 T 稍微變動，輻射能量就大幅改變，讓恆星與行星的能量收支對溫度高度敏感。
把重點打包：黑體輻射的思考清單
- 黑體是「吸得盡、發得盡」的理想參考；現實靠腔體與高 ε 材料逼近。
- 三條定律各司其職：普朗克定律給形，斯特藩–玻爾茲曼給總量，維恩定律給顏色。
- 量子化是假設到定律的關鍵跳躍；沒有它就有紫外災難。
- 發射率 ε 很關鍵；測溫、節能與材料設計都繞不開它。
- 天文上，黑體是太陽與恆星連續譜的第一近似，也是 CMB 的本質特徵。
結語
黑體輻射把「熱」與「光」優雅地連接起來：一端是我們手邊的電熱爐與熱像儀，另一端是太陽與宇宙的餘暉。從紫外災難到普朗克量子，黑體光譜逼出了二十世紀物理的革命；從室內節能到紅外遙感，它也深深嵌入科技與生活。下次你看到夕陽的暖橙或感受到冬日的日照，不妨想起那條隱形卻精準的曲線——普朗克分佈；它以 T^4 的敏感度與 1/T 的位移，悄悄塑造了你我所在的世界。
