【深造物理】GPS的原理只是精確的報時系統！
每天在香港穿梭地鐵、搭小巴、外送跑單、遠足登山、甚至在機場轉機，我們幾乎離不開地圖定位。手機上那個小小的藍點為何能準確落在你身旁的街口？答案其實是「物理學的時間實驗」在你掌心中不斷進行。全球定位系統（GPS, Global Positioning System）靠的不是魔法，而是精準到納秒級的時鐘、精心編碼的無線電訊號、以及對地球與空間的幾何理解。本文帶你由零開始理解：GPS的原理是甚麼？為何在鬧市高樓林立的香港，有時準、有時偏？怎樣把它用到更好？
GPS是甚麼？與GNSS有何關係
GPS是由美國建立與維護的衛星導航系統，屬於全球衛星導航系統（GNSS, Global Navigation Satellite System）大家族的一員。除了GPS，世界上還有俄羅斯的GLONASS、歐洲的Galileo、中國的北斗（BeiDou）等。大多數現代手機與車機都支援多星座（multi-GNSS），以提升在城市環境的可用性與精度。
GPS整體分為三個部分（稱為三大分段）：
- 空間分段（Space Segment）：約24顆為基礎、實際運行常逾30顆的中地球軌道（MEO）衛星，軌道高度約20,200公里，傾角約55度，繞行地球約12小時一圈。衛星分布在多條軌道平面上，務求地表任何位置與時間，都能見到至少4顆以上衛星。
- 控制分段（Control Segment）：全球多個地面監測站與主控中心，負責監測衛星健康、精準計算其軌道與鐘差，並上傳最新的導航訊息。
- 用戶分段（User Segment）：你的手機、車機、手錶、無人機、測量儀器等接收器。
核心想法：用時間換距離，用幾何推位置
定位的核心其實很簡單：如果你知道自己距離三個已知位置的點各是多少，就能用幾何把自己的位置解出來。這叫「三邊測量」（trilateration）。GPS如何量距？靠的是光速（電磁波在真空中的速度，約每秒299,792,458公尺）與極精準的時間測量。
每顆GPS衛星持續廣播一段「像噪音卻可辨識」的碼序列（偽隨機碼，PRN code），就像每顆衛星在唱不同的歌。接收器內部也同步產生相同的歌，然後對齊兩者，從對齊需要移動多少時間，乘以光速，就得到衛星到你的「距離」。
這個距離被稱為「偽距」（pseudorange），因為它包含了真正的幾何距離，加上接收器時鐘誤差與大氣延遲等各種誤差。為了同時解出三維位置（x, y, z）和接收器時鐘偏移（clock bias），理論上至少需要四顆衛星的偽距方程。這也是為何你常會看到「尋找GPS衛星，至少要4顆」的說法。
衛星訊號是怎樣的？頻率、碼與資料
GPS主要在L波段（L-band）廣播訊號，不易被雲雨衰減，適合長距離傳播：
| 頻帶 | 中心頻率 | 用途與訊號 |
|---|---|---|
| L1 | 1575.42 MHz | 民用C/A碼（C/A code, 1.023 Mcps）、L1C（新一代民用）、軍用M碼 |
| L2 | 1227.60 MHz | L2C（民用現代化訊號）、軍用P(Y)/M碼 |
| L5 | 1176.45 MHz | 高可靠度民用訊號（航空優先），帶寬較大、抗干擾更好 |
每顆衛星把碼序列（例如L1上的C/A碼，碼率1.023 MHz，長度1023 chip，重複週期1毫秒）調變到載波上，接收器以「相位相關」（correlation）去鎖定碼的對齊與多普勒頻移。除了碼，衛星還以低速資料（導航訊息，NAV/CNAV）傳送兩大關鍵：
- 星曆（ephemeris）：描述該衛星在近期（通常幾小時內）的精準軌道與衛星鐘差，定位必需。
- 星歷表/曆書（almanac）：整個星座的粗略軌道，幫助接收器知道「哪個方位應該找哪顆衛星」，加速搜星。
傳統NAV數據速率約每秒50比特，更新慢，但足夠提供星曆與時間。現代化訊號（如L5的CNAV）誤碼率更低、結構更靈活，對抗干擾更好。
接收器怎樣找到那些「會唱歌的星」？
你可以把接收器想像成在嘈雜派對裡找朋友的聲音：
- 搜尋（acquisition）：在「碼相位」（code phase）與「頻率」（frequency，多普勒偏移可能達±5 kHz以上）上掃描，嘗試對齊某顆衛星的專屬PRN碼。像在派對中先聽到某段熟悉旋律。
- 追蹤（tracking）：一旦找到，就用延遲鎖定迴路（DLL, Delay Lock Loop）細調碼對齊，用相位鎖定迴路（PLL, Phase Lock Loop）或頻率鎖定迴路（FLL, Frequency Lock Loop）穩定載波。這樣才能穩定量距與解讀低速導航數據。
接收器同時要建立自己的時間軸。衛星帶有高穩定度的原子鐘（如銫或銣），而手機只能用石英時鐘，精度差幾個數量級，所以四顆以上衛星才有足夠資訊同步你的時鐘與位置。
偽距方程：把誤差一個個找出來
數學上，每顆衛星的偽距（ρ）可寫成：
ρ = 幾何距離 + c × 接收器時鐘偏移 − c × 衛星時鐘偏移 + 電離層延遲 + 對流層延遲 + 多徑 + 雜訊 + 其他微效應
- c 是光速。
- 衛星時鐘偏移會由導航訊息提供改正。
- 電離層（ionosphere）延遲對頻率有色散性，單頻接收器用模型（如Klobuchar）改正，雙頻或多頻可線性組合消去一階效應。
- 對流層（troposphere）延遲可用氣象模型（如Saastamoinen）估算。
- 多徑（multipath）是城市裡的大魔王：訊號被牆面與玻璃反射，像回音干擾主聲，造成米級甚至更差的誤差。
接收器同時解四個未知數：你的三維坐標（通常在地球固定座標系ECEF, Earth-Centered Earth-Fixed）與時鐘偏移。之後再把ECEF轉換成我們熟悉的經緯度與高度，參考框架是WGS84（大地基準）。值得一提，高度是相對橢球面，不等於香港街坊日常說的「海拔」，後者常用大地水準面（geoid）作基準，二者可能有十多米差異。
幾何也很重要：DOP指標與「城市峽谷」
即使每條偽距誤差一樣大，最後算出的位置精度也會因衛星在天空的分布而不同。這種幾何放大效應用DOP（Dilution of Precision）來量度：
- PDOP：位置整體的幾何稀釋因子。
- HDOP/VDOP：水平/垂直方向的DOP。
一般在開闊環境PDOP可低於2，城市高樓林立（urban canyon）時，衛星大多集中在某些狹窄的仰角與方位，DOP上升，水平與垂直誤差顯著放大。這就是為何在中環、尖沙咀的高樓縫隙間，小藍點會偏到隔壁街，甚至飄移。
相對論在你口袋裡：衛星時鐘為何要「預先慢一點」
GPS最「科幻」又最日常的部分，就是廣義與狹義相對論同時上陣：
- 衛星在更高的重力勢能位置，時鐘相對地面「走快」（廣義相對論效應），約 +45.7 微秒/日。
- 衛星繞地運動速度約每秒3.9公里，移動中的時鐘「走慢」（狹義相對論效應），約 −7.2 微秒/日。
兩者相加，衛星時鐘淨效應約 +38 微秒/日。別小看這數字：光一天就會造成上萬米的距離誤差！因此GPS衛星的原子鐘在出廠時就做了頻率預校正，將頻率微微調低（約 −4.465×10⁻¹⁰ 的分數頻偏），上軌後在相對論效應下剛好走到地面用戶所需的標準速率。系統還會考慮地球自轉帶來的薩尼亞克效應（Sagnac effect）與其他微小項，確保時間與座標的一致性。
導航訊息：衛星告訴你的「星曆、時鐘、坐標系」
每顆衛星會週期性地在導航訊息裡播送：
- 星曆（ephemeris）：精確到米級的軌道參數與衛星時鐘改正，多數接收器每隔30分鐘到數小時更新一次。
- 健康狀態與訊號配置。
- 系統時間：GPS時間（GPS Time）與UTC之間的偏移。GPS時間不實施閏秒，因此與UTC之差是固定步進的整秒數（近年為十多秒級），接收器會據此轉換到本地時間。
- 曆書（almanac）：整個星座的粗略軌道，用於加速搜星；有效期可達數周。
座標框架方面，GPS採用WGS84大地基準與ECEF座標。地球不是完美球體，而是近似扁球橢球，這也是為何不同基準之間會有米級到數十米的對位差異。
誤差來源與改正：從大氣到多徑
- 電離層延遲（ionospheric delay）：電子含量隨日夜、太陽活動變化。雙頻/多頻接收器可用L1/L2或L5做「電離層自由組合」（ionosphere-free combination），一階消除；單頻則依賴模型改正。
- 對流層延遲（tropospheric delay）：與濕度、氣壓、仰角有關，仰角低（靠近地平線）路徑更長、延遲更大。
- 多徑（multipath）：訊號被建築、玻璃、地面反射，經不同路徑抵達，造成相長/相消干涉。對策包括良好的天線設計（地板反射盤、阻擋低仰角）、訊號處理抑制。
- 幾何（DOP）：衛星分布不佳會放大誤差，選擇多星座、多頻能改善。
- 接收器噪聲與量化：消費級裝置通常把偽距雜訊控制在米級。
在香港等高樓密集地區，遮擋與多徑往往是主因。雖然雲雨對L波段影響不大，但混凝土與金屬能強烈阻擋或反射訊號，室內深處難以接收。
精度能到多好？從米級到厘米級
- 標準單機（單點定位, SPP）：開闊天空下幾米以內，城市環境可能變差。
- SBAS（衛星增強, SBAS 如WAAS/EGNOS/MSAS）：廣域差分改正與完整性訊息，常見於航空導航，開闊環境可達1–2米級。
- 差分GPS（DGPS）：由附近地面基準站即時提供改正，米到亞米級。
- RTK（實時動態, Real-Time Kinematic）：利用載波相位（carrier phase）整周模糊度解算，配合數公里內的參考站，水平可達厘米級；適用於測量、工程、農業機械。香港地政總署的SatRef參考站網便支援此類服務。
- PPP（精密單點定位, Precise Point Positioning）：結合精密星曆與鐘差產品，單機即可達到分米到厘米級，但收斂需要時間（分鐘到半小時）。
多頻多星座是近年的關鍵：同時用GPS、Galileo、北斗、GLONASS，加上L1/L5等多頻，能顯著降低電離層誤差與DOP，對抗城市遮擋。
手機定位的祕訣：A‑GPS、冷啟動與感測器融合
手機要快、準、省電，會用到多種手段：
- A‑GPS（Assisted GPS）：透過行動網絡下載最新星曆、曆書與時間，無需慢慢等50 bps的衛星數據，大幅縮短首次定位時間（TTFF）。
- 冷/暖/熱啟動：
- 冷啟動：沒有任何資料，需完整搜星與下載導航訊息，可能要30–60秒以上。
- 暖啟動：有大致位置與時間，有曆書但星曆過期，十多秒可定位。
- 熱啟動：星曆有效（幾小時內）、時鐘同步佳，數秒內完成。
- 感測器融合（sensor fusion）：把GNSS與加速度計、陀螺儀、氣壓計、磁力計，以及Wi‑Fi/藍牙/基地台訊號融合，穿隧道或室內短暫失鎖時仍能維持平滑路線。
在香港搭地鐵或穿過行人隧道，GNSS訊號會中斷；手機會靠前後速度與方向推估（dead reckoning），出隧道後再與衛星時間對齊。
安全與完整性：干擾、欺騙與認證
GPS訊號微弱（到達地面的功率比背景噪音還低），容易受干擾（jamming）或欺騙（spoofing）。軍用訊號有加密（如P(Y)、M碼），民用世界也在發展開放訊號的認證，例如歐洲Galileo的OSNMA，未來GPS的L1C也預計提升互操作與抗干擾能力。對一般用戶，實務上的防護包括：
- 多星座多頻：一個星座或一條頻帶被干擾，仍有其他可用。
- 多感測器比對：GNSS解算與慣導、地圖配準彼此檢核。
- 良好天線與濾波：降低多徑與帶外干擾。
常見迷思
- 雲或下雨會讓GPS嚴重失準嗎？一般不會。L波段對雲雨衰減很小；真正麻煩的是建築遮擋與多徑。
- 為甚麼進入隧道藍點還會移動？那是感測器融合與地圖配準在發揮作用，離開隧道後會再以GNSS校正。
- 飛機上能用GPS嗎？多數航空公司允許飛行模式下開啟GNSS接收；實際政策視航司而定。
- 沒有網路，GPS還能用嗎？能。GNSS定位本身不需要上網，但若無法下載輔助資料，首次定位會慢，地圖也需事先離線下載。
- 為何高度常不準？GNSS高度對幾何與大氣更敏感，且是相對橢球面，不等於平均海平面；需做大地水準面改正才與「海拔」一致。
在香港如何把定位用到更好
- 盡量在開闊環境啟動定位，先取得良好星曆與初始解，之後在市區行走會更穩定。
- 開啟多星座多頻（如L5）的裝置更能對抗「城市峽谷」。
- 把手機置於接近窗邊的位置，遠離強金屬遮擋；跑步手錶可考慮多頻模式以減少沿海長走廊或高樓旁的飄移。
- 需要高精度工作（測量、航拍），善用本地參考站服務（如SatRef）與RTK/PPP。
- 預先下載離線地圖，海外旅遊或郊野遠足更安心。
更進一步：從座標到時間基準的世界網
GPS不只是定位工具，還是全球時間分配的基礎設施。金融交易所、電力電網、電訊基地台，都用GPS作時間同步。因為衛星攜帶的原子鐘與相對論校正，GPS能把「納秒級」時間標記送到全球。系統維護單位會透過世界各地監測網不斷校正衛星鐘差與軌道，提供穩定而可追溯的時間與座標。
一點工程細節：接收機在背後做了甚麼
- 靈敏度：現代晶片能在極低信噪比下鎖定訊號，甚至在室內近窗也可收到部分衛星。
- 週數回捲（week rollover）：導航訊息的週數欄位有限，若裝置韌體太舊可能在回捲時出現日期錯誤；更新韌體即可解決。
- 載波相位：高精度解算依靠毫米級的相位觀測，雖然存在「整周模糊度」（integer ambiguity），但透過差分與濾波可求解。
- 完整性監測（RAIM, Receiver Autonomous Integrity Monitoring）：航空用接收器會用第五顆以上的衛星做一致性檢查，偵測故障訊號。
結語：時間、光速與幾何的交響樂
GPS把抽象的物理概念變成你每天能用的功能：用光速把微小的時間差變成距離，用幾何把距離變成位置；同時在太空與地面間，原子鐘、相對論、大氣物理與訊號處理彼此配合。下次你在旺角街頭看著藍點準確地跟著你過馬路，不妨想像：遠在兩萬公里外的多顆衛星，正以納秒精度與你「合拍」。而你手中的裝置，則把這場交響樂即時譜成一條條路線。
未來，隨著更多頻帶、更多星座、以及城市級增強系統普及，定位將更快、更準、更可靠。無論是無人機配送、自動駕駛，還是你週末的遠足路線，GPS與整個GNSS生態系，會繼續在看不見的無線電波中，為我們描繪世界。
