【電磁波3】麥斯威爾方程式簡介，看懂電磁波與光的關係

你有沒有想過：收音機、手機、衛星通訊，甚至我們看見的光，其實都出自同一套物理規律？這套規律就是麥斯威爾方程（Maxwell equations）。雖然名稱聽起來很抽象，但它們的意思其實可以用日常生活的例子去理解。以下把重點整理成幾個簡單易懂的概念，保留原本節目中提到的收音機、RLC線路、電離層等例子，幫你把抽象的數學翻譯成生活圖像。

麥斯威爾方程：四條描述電與磁的法則

麥斯威爾方程其實是四條規則，分別從不同角度描述電場與磁場如何產生與變化。每條都有兩種寫法：一種是積分形式（比較適合看整個區域或包起來的表面），另一種是微分形式（適合描述某一點附近的行為）。兩者數學上等價，選哪一種主要看題目哪樣方便。

簡單說明四條法則的直觀意義：

Ampère（安培）定律：描述磁場如何由電流或電場的變化產生。想像水流在管裡，水流會在周圍捲起一圈漩渦；電流或變化的電場也會在空間產生磁場的「漩渦」。
Faraday（法拉第）定律：外面磁場在變時會在周圍產生電場（這就是發電機運作的基本原理）。把它想像為磁場的變化在空間裡「牽動」出一圈電力的漩渦。
Gauss（高斯）定律：電場的流量（就像穿過封閉面積的線數）等於內部的電荷總量。若你把一個電荷包在一個盒子裡，電場線穿出的總數與那個電荷有直接關係。
磁單極不存在：實驗上從沒找到只有單一北極或南極的磁鐵，磁場線總是成對出現（形成閉合的環）。

這四條合起來，幫助我們理解電磁現象由何而來、如何傳播。當遇到不同情況（像是點電荷、整片媒介或電磁波）時，我們會用不同形式的方程來計算與預測。

電磁波就是光：如何從方程推出波動

把上述方程互相代入、整理後，數學上會出現跟空間二次微分（簡單想像為空間上的彎曲）以及時間二次微分（描述變化速度改變）有關的關係。這種形式正是「波動方程」的形式：空間的彎曲與時間的加速度之間有固定比例，這正是波（像水波、聲波）會出現的數學特徵。

更重要的是，波動方程的常數會包含兩個關鍵物理量：真空的電容特性（稱為真空電許可率 ε0，大約 8.85×10^-12）和真空的磁性特性（稱為真空磁導率 μ0，大約 4π×10^-7）。把它們代入後，便得到波在真空中的傳播速度，而這個速度剛好等於光速 c（約 3×10^8 米/秒）。用一句話表達就是：從麥斯威爾方程推導出來的電磁波，在真空中的速度就是我們所知道的光速，這強烈支持光就是電磁波的觀點。

在想像上，你可以把電場（E）和磁場（B）想像成兩條互相綁著、彼此垂直的繩子：當電場在某個方向搖動，磁場會在垂直方向被牽動，兩者互相感生，整體的波就向前傳播。可見電和磁不是獨立，而是交替產生，使能量以波的形式移動。

電磁波在通訊的應用：從RLC到電離層反射

把理論放回現實世界，做無線電通訊時會用到很多元件，其中一個基本的就是RLC電路（包含電阻 R、電感 L、電容 C）。RLC電路會在特定頻率產生共振，像收音機選台一樣，天線接收到各種頻率的電磁波，RLC電路幫忙把想要的頻率挑出來，轉成我們能聽到或處理的訊號。

當電磁波遇到不同介質（像空氣、水、或電離層）時，會發生反射、折射或吸收。這裡就要提到邊界條件：某些量（例如切向的電場或法向的位移場）在界面上需要連續，有些則可以不連續。這些規則決定了入射波會被怎樣分配成反射波和透射波。

舉個經典例子：在太空服或地面通訊未普及以前，人們利用電離層來做長距離無線電傳播。電離層是一層高度電離的氣體，對不同頻率的電磁波反應不同——某些頻率會被它像鏡子一樣反射回地面，於是訊號可以「跳」過地球的曲率，傳到遠方。現代則更多使用人造衛星覆蓋，因為地球是圓的，單靠地面天線無法直接看到整個地球另一邊。

另外，海水對電磁波的阻抗比空氣大得多，這就是為什麼潛艇通訊常用非常低的頻率（VLF/ELF），因為低頻波比較能穿透海水但帶寬小，傳輸速度和容量都有限制。

加速的電荷會放出電磁波：從天線到原子

麥斯威爾方程還告訴我們一個重要事實：如果電荷被加速或減速，它就會發出電磁波。這既是天線發射電波的原理（天線裡的電子被驅動來回加速，產生電磁波），也是很多自然現象的根源。

這個結論對早期原子模型帶來了挑戰：若電子圍繞原子核做圓周運動（像行星繞太陽），根據經典電磁學它們應該會因加速而輻射能量，漸漸失去能量最後墜入原子核。但原子是穩定存在的，這個矛盾促使物理學家發展出新的理論（也就是量子力學），來解釋原子內部的穩定與發光行為。

結語：麥斯威爾方程的力量與日常意義

總結來說，麥斯威爾方程不是只屬於高深數學家的抽象工具，而是日常科技（收音機、手機、雷達、衛星、潛艇通訊）背後的共同語言。它把電場與磁場聯繫起來，預言了電磁波的存在和速度（光速），並且解釋了為何加速的電荷會放出電磁波。這些理論不但成功預測了光的許多性質，也成為後來相對論等重要理論的建基石。

最後，用一個有趣的比喻收尾：有人把麥斯威爾方程組合一句話來玩味——“And God said (the equations), and there was light.” 這不是宗教論述，而是說從一套物理法則出發，我們能精準描述光的行為；科學的工作就是把這些規律寫出來，用它們去預測、設計和理解世界。