【深造物理】法拉第定律：變動的磁場如何「生出」電

八達通一嘟就過、手機無線充電、電磁爐火力勁、單車的「發電燈」愈踩愈光——這些看似分散的日常技術，其核心其實是同一條物理黃金定律：法拉第定律(Faraday’s law)。它告訴我們：只要讓磁場的「影響力」隨時間改變，電就會自然湧現。本文會帶你由直覺、到數學、再到應用，扎實掌握這條把發電機、變壓器、無線充電乃至電磁波串連起來的定律。

從實驗開始：法拉第的關鍵觀察

1831 年，英國科學家法拉第(Michael Faraday)做了一個簡單卻震撼的實驗：把一支磁鐵推入一個接上電流表的線圈，指針瞬間偏了一下；把磁鐵抽出，指針又在相反方向偏一次。但如果磁鐵靜止在圈內，指針就回到零。法拉第很快明白——不是磁鐵「在不在」，而是磁場「變不變」才是關鍵。

他另一個經典裝置是用兩個線圈套在同一個鐵環上：當他在第一個線圈接通或斷開電池時，第二個線圈也出現短暫電流。兩個線圈並無直接相連，能量卻透過磁場的變化傳遞過去。這便是電磁感應(electromagnetic induction)。

先釐清核心概念：磁通量(magnetic flux)

要把現象說清楚，我們需要一個量：磁通量，記作 Φ_B。直覺地，你可把它想像成「有多少磁場穿過某個面」。數學上它是磁場 B 穿過某個面積 A 的疊加：

Φ_B = ∫ B · dA；若 B 在整個面上都差不多一樣，就可簡化為 Φ_B = B A cosθ，其中 θ 是磁場方向與面法線的夾角。

一個生活化比喻：把窗戶想成面積 A，把雨點的密度與方向想成 B。當窗戶轉動、開合，或雨勢改變，你接到的雨量(類比磁通量)就會改變。法拉第定律的精髓，就是：當「穿窗而過的雨量」在改變，窗框周邊就會出現一股「推動水滴」的力量；在電學裡，這力量就是電動勢(EMF, electromotive force)。

怎樣改變磁通量 Φ_B	具體做法	生活例子
改變磁場強度 B	把磁鐵推近/拉遠、或讓電磁鐵的電流變化	手掣開關變壓器一側電流，另一側立刻感應電壓
改變面積 A	拉伸或縮小線圈、或金屬環形狀	旋轉的發電機線圈邊轉邊「掃過」不同有效面積
改變相對角度 θ	令線圈相對磁場旋轉	交流發電機把機械旋轉變成交流電

法拉第定律：一句話與兩個形態

一句話版：環路上的感應電動勢等於穿過該環路的磁通量變化率的負號。

積分形(Integral form)：∮ E · dl = − dΦ_B/dt
微分形(Differential form，也稱 Maxwell–Faraday equation)：∇ × E = − ∂B/∂t

這裡 E 是電場，dl 是沿著封閉路徑的小段向量。第一條強調「整個環路」的電動勢與磁通量變化的關係；第二條則說明：只要某處的磁場隨時間變，附近空間就會出現「會繞圈的」電場。這種被時間變化的磁場誘發出來的電場，不像電池那種靜電場那樣是「從高電位流向低電位」，而是能在空間自成封閉回路——即使沒有導線，空氣裡也有這樣的電場存在。

符號前的負號來自楞次定律(Lenz’s law)：感應出來的電流方向，總是「反抗」原本造成磁通量改變的原因。這不是大自然唱反調，而是能量守恆的自然結果：要改變磁通量，你需要做工；感應電流會產生磁場抵銷你的改變，迫使你投入的能量有去處(變成電能、熱能或其他形式)。

「切割磁力線」的直觀與微觀力學

很多課本會說「導體切割磁力線會產生電流」。這是便於想像的說法，但更根本的物理是洛倫茲力(Lorentz force)。當一段長度 L 的直導體以速度 v 垂直於均勻磁場 B 移動時，導體內自由電荷會受到磁力 q(v × B) 偏向導體其中一端，造成兩端電位差，形成電動勢：

EMF = B L v (方向由右手定則與楞次定律決定)。

如果把這段導體連成回路，電荷就會被驅動形成電流。從磁通量角度看，這等同於回路掃過的磁通量在改變；兩種觀點在數學上可以相互推導，是同一件事的兩面。

算例：用可感的數字建立手感

矩形線框撞入磁場區域：想像一個寬度 L = 0.10 m 的線框，以 v = 1 m/s 水平推入一塊強磁鐵形成的均勻磁場區域 B ≈ 0.5 T。當框邊剛進入磁場時，感應電動勢約 EMF ≈ B L v = 0.05 V。如果回路總電阻是 0.5 Ω，瞬間電流約 0.1 A。你會明顯感到推動它需要力，這股力做的功，轉化成熱能(電阻發熱)與磁場能量。
N 匝線圈遇到正弦變化磁場：B(t) = B₀ cos(ωt)，假設 N = 500 匝，面積 A = 10 cm² = 1×10⁻³ m²，B₀ = 0.01 T，頻率 f = 50 Hz，角頻率 ω = 2πf ≈ 314 rad/s。峰值感應電動勢約為 N A B₀ ω ≈ 1.57 V。這就是交流電裡「電壓靠磁通量隨時間變」的直接演繹。
變壓器(Transformer)：在鐵芯上繞 N_p 匝的原線圈施加交流，使芯內磁通 Φ 隨時間變；副線圈就感應出 V_s = −N_s dΦ/dt。若損耗小，電壓比近似 V_s/V_p ≈ N_s/N_p。香港常見的 220 V 交流，就是靠電廠先用高壓遠距輸電，再用變壓器在社區降壓的應用。

能量從哪裡來？楞次定律背後的能量觀

很多人會問：「感應電流憑空生出來，能量從哪裡來？」答案是：從你改變磁通量的動作而來。推磁鐵入線圈更費力、拉出也更吃力；旋轉發電機的軸要用蒸汽、風或水推動；變壓器的一側若帶負載，原側電源就要供應更多功率。用場論語言，空間的電場與磁場攜帶能量，能量流由坡印亭向量(Poynting vector) S = (1/μ₀) E × B 指向回路，最後在負載上轉成熱或機械做工。楞次定律的「反抗」，正是能量守恆在你手上可感的回饋。

與麥士威方程組的銜接：電磁波的誕生

法拉第定律說：變動的磁場會產生繞圈的電場(∇×E = −∂B/∂t)；麥士威在安培定律中補上位移電流(displacement current)後，另一半則是：變動的電場也會產生磁場(∇×B = μ₀J + μ₀ε₀ ∂E/∂t)。把兩者合起來就預言：電場與磁場能彼此「自我生成」且在空間中以光速 c 傳播，這就是電磁波。從八達通讀卡器到無線電、Wi‑Fi，本質上都建立在這對「你變我就變」的聯動定律之上。

生活中的法拉第定律：你已經天天在用

發電機(Generator)：在電廠裡，渦輪帶動線圈或磁場旋轉，令磁通量周期性改變，產生交流電(香港電網為 50 Hz)。
變壓器：高壓輸電減少線損，到社區後再降壓供家用。你手機充電器內就有微型變壓器。
無線充電與 RFID/NFC：充電座的線圈把交變磁場耦合到手機線圈；八達通、信用卡的 13.56 MHz 近場通訊靠的也是磁場耦合，把電力與數據同時「感應」過去。
電磁爐(Induction cooker)：交變磁場在鍋底誘發渦電流(eddy currents)，電阻發熱；可導磁的金屬(如適用的不鏽鋼、鐵質鍋具)耦合更強，升溫快而高效。
單車「發電燈」：輪子帶動小型發電機，靠切變磁通量產生電，速度愈快越光。
結他拾音器(Guitar pickup)：金屬弦在磁場中震動，改變線圈的磁通量，線圈兩端就感應出電壓，變成聲音訊號。
渦電流煞車與磁浮演示：導體在變動磁場下會生渦電流，根據楞次定律產生阻力，過山車、部分列車與科普展示常用此效應。再進一步的磁浮演示(例如鋁盤上方的交流電磁鐵)亦是同一物理。
MRI 接收線圈：人體裡的氫核在射頻脈衝後會放出隨時間變的磁訊號，接收線圈據此「感應」出微小電壓，經放大重建影像。

常見迷思與澄清

一定要有「移動的磁鐵」才有感應？不。只要磁通量在改變就有，方法包括：移動磁鐵、改變電磁鐵電流、旋轉線圈、改變線圈面積等。變壓器就是完全沒有機械運動的典型。
只有導線裡才有感應電場？不。微分形告訴我們：只要 B 隨時間變，空間中就有繞圈的電場，即使沒有金屬也一樣。導體只是讓電荷在這電場驅動下自由流動，形成可量度的電流。
磁通量就是「磁力線數量」？磁力線只是幫助視覺化的畫法；磁通量是嚴格的面積分(∫ B · dA)，與「線的條數」無關。
感應電流會「永遠」把變化抵消掉？不，抵抗並不等於完全抵消。它只保證你要維持變化，必須持續輸入能量。

渦電流與屏蔽：時間在變，電就繞圈

當整塊導體(例如一塊銅片)置於變動的磁場中，感應電場會在導體內形成閉合路徑，驅動環形電流——這就是渦電流。渦電流會產生自己的磁場抵抗原來的變化，帶來兩個常見效果：

阻尼/煞車：把磁鐵放進粗厚銅管，會像「慢鏡頭」一樣慢慢落下；高速電錶指針靠渦電流實現平滑阻尼。
電磁屏蔽：對於隨時間變的場，金屬外殼中的渦電流可把場排拒在外，因此許多電子設備用金屬殼降低干擾。值得注意的是，靜電屏蔽(法拉第籠)的原理與此相關但不全相同：它主要利用導體表面的自由電荷重新分佈來抵消內部電場。

把式子讀懂：從積分到微分的邏輯

為何有兩種形態？積分形 ∮E·dl = − dΦ_B/dt 直接跟你的線圈與磁通量連結，最適合算發電機、變壓器與實驗設計；微分形 ∇×E = −∂B/∂t 則把焦點放在「每一點空間」的行為，是理解電磁波、場在空間如何自我演化的關鍵。兩者透過斯托克斯定理(Stokes’ theorem)互相轉換：把一個面上的「旋度」積分，等於邊界曲線上的場積分。

家中可做的小實驗

線圈加磁鐵：找一個幾百匝的細線圈，串接 LED 或敏感電壓表，把磁鐵快速伸入、抽出，你會看到 LED 閃爍或指針跳動；靜止不動則無反應。換不同速度、不同磁鐵，亮度/幅度也跟著變。
銅管掉磁鐵：讓一塊強力磁鐵穿過粗厚銅管，會明顯「下墜變慢」。這是渦電流與楞次定律的示範。請注意安全，強磁鐵易夾手。

把握要點，活用到日常

記一句話：變則生電。任何令 Φ_B 改變的動作，必引發感應電動勢。
方向靠楞次：想像感應電流所產生的磁場，總會「抗拒」原來的變化。
導線不是必需，但有了導線就可把感應電場變成可用的電流與功率。
能量守恆永遠在場：你得到的電能，來自你輸入的機械能或電能。

結語：從一條定律，看懂現代世界的很多角落

法拉第定律把「磁」和「電」緊緊扣在一起：磁場一有變，電場就跟著繞圈；當你給它一個導電通道，電流就會流動，可用於發電、變壓、無線耦合與感測。這條定律既是工業文明的基石，也是現代物理的門檻——與麥士威方程組共同指向電磁波的存在，連接到無線通訊的世界。下次你在港鐵月台聽到列車再生制動的低鳴、在家把手機放上無線充電板、或在超市輕輕一嘟過閘，不妨想起：在看不見的空間裡，磁通量正在變，電場正悄悄繞圈——法拉第定律就在你身邊運作。