【深造物理】一顆擺錘如何證明地球在轉，認識傅科擺的物理與工程
想像一顆沉甸甸的金屬球，吊在高高的穹頂下，靜默地來回擺動。你站在地上看著它，會發現擺動的方向似乎在慢慢改變，好像它有自己的想法。其實，這不是擺在變，是真正的地球在轉。這就是傅科擺（Foucault pendulum）的魅力：用最簡單的裝置，把地球自轉這件「我們天天身在其中卻難以直接感受」的事實，直白地呈現在你眼前。
從巴黎到科學館：一個簡單而震撼的實驗
1851 年，法國物理學家傅科（Léon Foucault）在巴黎先賢祠（Panthéon）懸掛了一條長達 67 米的擺，擺錘重約 28 公斤。地上排滿木樁，隨著時間流逝，擺錘每次回來都會撞倒不同方向的木樁，顯示擺動平面的方向在轉。震撼之處是：擺本身只是來回擺，但相對於地面，它的擺動方向在慢慢旋轉，彷彿在說「地球其實在我腳下轉動」。自此，世界各地的科學館與大學都設置了傅科擺，成為科學教育的經典展品。
傅科擺是什麼？為何它能「看見」地球自轉
傅科擺本質上就是一個「很長、很穩定的單擺」。它的擺動平面（你可以理解為來回擺動那條直線）在慣性參考系（inertial frame）中幾乎不變；是地球連同我們、地板和建築在轉，讓我們誤以為擺的方向在慢慢改變。
- 在北半球，擺動平面相對地面會順時針方向旋轉；南半球則逆時針；赤道上則幾乎不旋轉。
- 旋轉的角速度大小只取決於緯度 φ：擺動平面相對地面的角速度 ≈ 地球自轉角速度 Ω × sinφ。以每日的角度來說，就是每日旋轉 360° × sinφ（以恆星日計）。
用一句「口語化的數學」來說：只有地球自轉軸在你頭頂方向的投影，才會令你看到擺在轉；這個投影的比例就是 sinφ。
數字說話：在香港會看到怎樣的旋轉？
地球自轉一圈的「恆星日」是約 23 小時 56 分（比 24 小時短一點點）。以下是幾個緯度的傅科擺旋轉速度（相對地面）：
| 地點/緯度 | 每天旋轉角度（約） | 每小時旋轉角度（約） | 完成一圈所需時間 |
|---|---|---|---|
| 北極/南極（±90°） | 360° | 15°/小時 | 約 24 小時 |
| 東京（約 35°N） | 360°×sin35° ≈ 206° | ≈ 8.6°/小時 | ≈ 42 小時 |
| 台北（約 25°N） | ≈ 152° | ≈ 6.3°/小時 | ≈ 57 小時 |
| 香港（約 22.3°N） | ≈ 136° | ≈ 5.7°/小時 | ≈ 63 小時 |
| 新加坡（約 1°N） | ≈ 6.3° | ≈ 0.26°/小時 | ≈ 3300 小時 |
| 赤道（0°） | 0° | 0°/小時 | 無限（不旋轉） |
以上用的是恆星日。如果你用 24 小時（太陽日）來粗估，差異不到 1%，對展示與理解影響很小。
從科里奧利力（Coriolis force）看本質
更嚴謹地說，當我們在地球這個「旋轉座標系」觀察，會出現虛擬力：科里奧利力 2m(Ω×v)。這個力會把擺錘的速度 v 偏轉一點點，長時間下來，等效為擺動平面的緩慢扭轉。計算可以這樣理解：
- 把地球自轉角速度向量 Ω 分解成「垂直於地面」與「沿地面」兩部分；
- 只有垂直於地面的那一部分（大小為 Ω sinφ）會導致你看到擺動平面的旋轉；
- 因此，擺動平面相對地面的角速度就是 Ω sinφ；方向由右手定則決定：北半球順時針、南半球逆時針、赤道為零。
換個白話的比喻：擺動平面在宇宙背景中「愛走直線不愛拐彎」，而你和地面像坐在旋轉木馬上。你覺得擺在轉，其實是你在轉。
擺長、週期與為何要「很長」
單擺的擺動週期 T ≈ 2π√(L/g)，其中 L 是擺長，g 是地面重力加速度（約 9.8 m/s²）。擺越長，週期越長、擺動越慢，來回一次約幾秒至十多秒，方便觀察；同時長擺的擺動平面更穩定，對微小擾動不那麼敏感，展示效果更清楚。很多科學館會用 10–30 米甚至更長的擺長，配合幾十公斤以上的擺錘。
但長擺也帶來工程挑戰：細小摩擦和空氣阻力會逐漸耗散能量，讓振幅變小。因此展示用傅科擺通常會悄悄地「補一口氣」——用電磁驅動（electromagnetic drive）。線圈在擺錘最低點附近，配合光學或磁簧感測器，於每次通過時給一個與速度同向的小脈衝，補回剛損失的能量，同時儘量不對擺動平面施加偏置力，避免「人為地」改變旋轉速率。
吊點與擺錘：細節決定成敗
一個「好看」的傅科擺，關鍵在吊點與擺錘的設計：
- 萬向吊點（universal joint）或柔性樞軸（flexure pivot）：必須讓擺能在任意水平方向自由擺動，同時把摩擦、回扭和幾何非對稱降到最低。
- 圓球形擺錘，細鋼索（或多股纜線）：球形受風阻均勻，細索減少空氣擾動與扭轉彈性。
- 抗擾動設計：穹頂空間要避免氣流；建築震動（例如地鐵或交通）會把能量耦合進來，造成看似「亂轉」的假象。
- 啟動方式：起擺要小心。常見做法是把擺錘輕輕拉開，用可燃細線固定，點燃讓細線燒斷，確保初始擺動不帶橫向推力，避免一開始就出現橢圓軌道。
如果吊點有一點點方向性（例如在某方向摩擦較大），擺軌會由直線變成很扁的橢圓。這會引致所謂的「本徵進動」（apsidal precession）：橢圓的長軸會緩慢轉動，疊加在傅科效應上，讓觀測到的旋轉速率偏離理論值。高品質吊點與精心調校能把這種效應壓得很低。
常見誤解與觀察技巧
- 「擺在自轉嗎？」——不是。擺動平面在慣性空間近乎固定，是地面在轉。你看到的旋轉，是相對運動的結果。
- 「赤道上就完全看不到效果？」——理論上擺動平面相對地面不旋轉；但現實中仍可能看到微小漂移，那往往是來自吊點非理想、氣流或地板不平等擾動，並非地球不轉。
- 「方向和颱風一樣嗎？」——在北半球，傅科擺相對地面的旋轉為順時針；大型低壓（如颱風）因科里奧利效應呈反時針。兩者方向不同不矛盾，因為力學機制與參考系角色不同。
- 觀察小撇步：站高一點俯視更易分辨方向；連續拍攝延時影片可清楚看到地面標記相對擺動線條的轉動。
用它量「緯度」與「地球自轉」
傅科擺不止是展示，也能當「測量儀」。若量得擺動平面每天相對地面轉過的角度 Δθ（以恆星日計），就能反推緯度：φ = arcsin(Δθ/360°)。反之，若已知緯度，也能用它估算地球自轉角速度 Ω。當然，現代測地學用原子鐘、衛星與甚長基線干涉（VLBI）等方法更精確；傅科擺的價值，在於它用幾乎「無計算」的直觀方式，把抽象的自轉變成可見的幾何運動。
近代細節：從理想到現場的「小偏差」
在真正的展廳裡，你可能遇到以下讓曲線「不那麼完美」的因素：
- 空氣阻力的各向異性：場館氣流若偏向某方向，會令擺軌略呈橢圓且偏向風向。
- 吊索扭轉彈性：細小的回扭力會累積成「假進動」，需要靠對稱化與潤滑來抑制。
- 地面不水平：微小傾斜會使擺在最低點兩側受力不對稱，逐步偏移。
- 地面或樓宇微震：人潮與交通振源會把能量耦合進擺動，造成短時擾動。
- 驅動線圈偏置：若驅動脈衝不是沿速度方向而帶有側向分量，會對進動速率造成系統性偏差。工程上會用對稱佈置與相位鎖定感測來降低這個問題。
專業裝置會記錄長期數據，把理論曲線（Ω sinφ）與實測比較，校正以上效應。這也是為什麼高品質的傅科擺能成為大學物理實驗的標準。
與日常與地球科學的連結
傅科擺的物理其實無處不在。你在香港感受過的颱風路徑、北半球洋流的順逆時針分佈，背後都有科里奧利效應。不同的是，流體的運動牽涉壓力梯度力、摩擦與地形等多種因素，方向與速度不再是簡單的 sinφ 比例；而傅科擺把「純粹的旋轉座標系」效應抽離出來，讓你在極簡的系統裡看見地球自轉本身。
可以自己做嗎？
要在家裡重現「可見的」傅科進動很難，因為你需要很長的擺、很小的摩擦與很穩定的環境。小型擺的進動速度一樣是 Ω sinφ，但小、輕、短的擺受擾動太大，訊號常被噪聲淹沒。不過，你可以用轉椅或簡單旋轉平台重現科里奧利效應：手裡滑動一個小球，會明顯看到路徑偏轉，這就是 2Ω×v 在起作用的感覺。
結語：一條線，連接地心與星空
傅科擺的美，在於「以簡馭繁」。一條線、一顆球，加上時間，就把地球自轉——這個宏大的天文事實——化為可以親眼見到的幾何旋轉。當你在展廳裡看著擺錘靜靜地走著它的直線，其實你也在參與一場宇宙尺度的舞蹈：地板在你腳下慢慢轉過，天空在你頭頂無聲滑移。傅科擺提醒我們，物理不只是方程式，更是一種看世界的方式：在最平常的來回之間，藏著地球與宇宙的節奏。
