【量子2】如何簡單應用薛定諤方程？

想像你在地圖App看「熱力圖」：顏色越深，代表那裡越多人。量子力學也有一張「熱力圖」，用來描述微觀粒子在哪裡較可能被找到。這張圖的主角叫「波函式」，但它本身不是機率；真正的機率來自波函式的大小平方（寫作 |ψ|²）。把全宇宙所有位置的機率加總，必須是100%——因為無論它多頑皮，終歸在宇宙某處找得到它。從這個出發，我們可以用幾個簡單模型，了解量子世界為何「樓層分明」，不似日常世界那般連續。

波函式不是機率，但機率來自它

波函式像是描述「可能性波動」的數學物件。把它取絕對值再平方，就是粒子在各位置出現的機率密度。這個機率密度要滿足常識：把所有地方的機率加起來是100%。這稱為「歸一化」。它提醒我們：量子描述的不是一定在哪裡，而是「在哪裡的可能性有多大」。

邊界條件：像屋邨圍欄的規矩

要算出波函式，除了基本方程，還要知道系統的「邊界條件」，就像球場四邊的圍欄，決定球可以怎樣彈。量子世界裡，這些圍欄由「位能形狀」決定——牆有多高、井有多深，會直接限制波函式在邊界要怎樣表現。

無限深方井：最經典的「粒子在盒子」

第一個必學例子，是把粒子放進一個「無限深的井」：井外是無法超越的高牆，於是波函式在井外必須是零，連井邊界也要是零。這個規矩令可行的波形被挑選得很嚴格——只有一頭一尾都為零的一系列「站波」可以存在，像結他弦只能發出特定音調。

這些可行波形對應「離散的」能量樓層：最低的一層（基態）波形最平滑，能量最低；再高一層有多一個起伏，能量更高；越高的樓層，波動節數越多。重點是：即使能量再高，只要牆是無限高，粒子仍然絕不會出現在井外，因為外面機率是零。

有限深方井與量子隧道：牆不夠高，霧會「透」

如果牆不是無限高，而是有限高，故事就變了：在井外，波函式不再是完全零，而是以很快速度衰減，但仍有「小尾巴」伸出去。這代表粒子有一丁點機會「出現在牆外」，即使按常理看來它「能量不夠」。

這現象叫量子隧道效應。比喻一下：你在房間放音樂，門關上了，聲音仍會「透」一點出去；量子世界裡，波函式也會「滲」過去。只要牆不是無限高、不是無限粗，完全阻擋是不可能的。這就是為什麼放射性衰變、半導體元件、掃描式穿隧顯微鏡能夠運作。

數學怎樣入場：微分方程＋邊界條件

上述結論並非靠猜想，而是解一條核心方程（攝動？不，是薛定諤方程）得來的。通常我們用不含時間版本，配合系統的邊界條件，去找出所有合格的波函式。這是一道「找出滿足微分方程且同時滿足邊界條件的函式」的題目。每一個合格解對應一個量子態，也對應一個特定能量。參數（常以 k 表示）不同，就代表不同樓層。

數學家與物理學家的合作在這裡特別緊密：位能形狀像是「設計圖」，微分方程是「物理規律」，兩者合起來，就能把可能的量子態一個不漏地找出來。

從方井到鐘擺：量子版和諧振子

把視角從方井轉到「彈簧/小角度鐘擺」的位能，形狀像碗口（拋物線）。在經典世界，你把鐘擺抬多高，它就以對應幅度來回擺動；能量可以連續改變。但在量子世界，這個系統的能量也變成一級一級：只能在一樓、二樓、三樓……沒有「1.374樓」。各樓層的波函式各有形狀，|ψ|² 告訴你「這顆量子鐘擺在何處最可能被找到」。

原子中的電子雲：為何形狀固定

電子在原子核周圍的「電子雲」，其實就是波函式的幾何呈現。不同能量、不同角動量，對應不同形狀：有球形的，也有啞鈴形等。它們不是隨意的，而是薛定諤方程在「像球一樣的位能」下的合格解。每一個解都要通過兩個考核：一是滿足方程，二是符合邊界（例如無窮遠處要衰減至零）。最後，|ψ|² 在整個空間的總和仍是100%，這保證我們在宇宙某處一定找得到那顆電子。

為何能量要離散：樓層而非斜坡

不論是方井、量子鐘擺，抑或原子中的電子雲，核心信息一致：量子態不能任意；能量不是連續斜坡，而是樓層。激發時，系統會從一層跳到另一層，而不是停在中間的一小塊。這與日常直觀不同，但卻精準解釋了原子光譜、雷射、LED等現象。

重點整理

• 波函式是用來計算機率的工具，本身不是機率；|ψ|² 才是機率密度。• 機率總和必須是100%（歸一化）。• 邊界條件像圍欄，決定波函式在邊緣如何表現。• 無限深方井：井外機率為零；只允許一系列站波；能量離散。• 有限深方井：波函式可在外側留下一點尾巴；導致量子隧道效應。• 量子和諧振子（量子鐘擺）：能量同樣是一級一級，沒有中間值。• 原子電子雲的各種形狀，是薛定諤方程在球形位能下的合格解。• 找量子態＝解微分方程＋套入邊界條件；不同位能形狀，造就不同波函式。