你住在2.3維的世界？認識分形與非整數維度！

什麼是「非整數維度」？

我們習慣把世界分成一維（線）、二維（面）、三維（立體）。但自然中有不少東西既不像純粹的線，也未完全是個面——它們的「維度」介乎一與二之間或二與三之間，稱為非整數維度。用一句話形容：在有限的長度或面積裡，塞進了很多細節，讓你放大越細越多東西出現。

Koch雪花是一個經典做法：把三角形的一邊中段替換成四段較短的邊，然後重複這個規則。你會發現邊的數量增加，但每段變短，整體看起來既不像單純的線也不像平面。維度可以用公式D=log(N)/log(1/s)計算，Koch例子是D=log4/log3，大約1.26，於是我們說它是1.26維。

另一個更貼地的例子是海岸線：用長尺量海岸，細小灣灣沒法量到；改用短尺，會把更多細節量進去，測得的周長變長。尺越短，測得越長——這顯示海岸線具有分形性，維度超過1但未到2。

在培養皿上的細菌往往在平面擴張，看似二維；但某些真菌或黴菌會突出形成三維結構。螞蟻通常在平面行走，對它們來說世界可能近似二維。甚至有趣的比喻：一條只能來回的地鐵線像一維系統。

在香港的樓盤設計裡，有些圖則看起來像分形：在有限土地上增加周界（窗戶、凸出空間），以換取更多單位或景觀。這也是把有限面積「拉長」周界的實用做法。

很多生物結構採用分形策略來增加表面積而保留空間流通。葉脈、樹枝的分叉、血管與氣管系統，都以一變多、一再分叉的方式擴展交換面。例如人的肺若把所有氣囊與管道攤平，面積接近一個網球場，讓氧氣交換效率極高。分形的好處是能在有限體積內大幅增加可用表面，同時保留流通空間。

分形結構帶來演化或工程上的好處：增加吸收或交換面、結構穩定與空間利用效率。但也有代價：更大的周界意味著更多材料成本、更多損傷風險、需要更多能量維持。自然或人工系統會在利與弊間做取捨。

20世紀中期以後，Mandelbrot等人把分形理論系統化，應用範圍從地理（海岸、地形）、生物（肺、血管）、到經濟（股市走勢的自相似性嘗試分析）。在CG與動畫裡，分形法則可以快速產生真實感樹木、雲朵與景觀；藝術家也用分形生成迷人的圖案。

你可以從身邊找找：樹葉的主脈與細脈、樹枝分叉、雲朵的輪廓、海邊的沙岸、舊樓的奇特平面圖，甚至股票走勢的小尺度圖形。若放大後常見相似的結構，那很可能就是分形或近似分形。記得：完美的數學分形在自然中很少見，自然會有偏差或在某個尺度停下，但整體的「重複法則」仍然存在。

總結來說，所謂1.2、1.5或2.3維，是幫助我們描述那些介於整數維度之間、在不同尺度重複出現細節的形狀。認識分形，不只是一門數學，好比學會一種看世界的新眼光，能讓你發現身邊那些既熟悉又奇妙的「非整數維度」現象。