【分形2】分形無處不在：從樹葉、肺泡到股市都存在！

下次行山經過一撮蕨類植物，或者看見一片樹葉的紋理，不妨想像把它放大、再放大——你會發現細節竟然和原來的樣子相似到幾乎分不清。這種「放大仍像自己」的特性，就叫做分形。分形不是只屬於數學家的抽象遊戲，它其實深藏在植物的枝葉、人類的肺、血管、雪花，甚至金融市場的走勢和網路世界的結構裡。掌握分形的思維，可以令我們更懂得觀察身邊自然，亦有助建立更貼近現實的科學與工程模型。

什麼是分形：自相似與無限細節

分形最核心的概念是「自相似」：無論你把圖形放大多少倍，它的局部仍然像整體。想像把一枝蕨葉剪下一小段，再把這小段放大，你仍會看到和整枝蕨葉相近的輪廓。這代表一套簡單的「長法」或規則，不斷在不同尺度重複，便能堆砌出複雜的形態。

另一個關鍵，是分形擁有「介乎傳統維度之間」的尺度感。直線是一維，平面是二維，立體是三維；但分形可以是1.3維、1.7維、甚至2點幾維。維度不再是「幾何課本」的整數，而是反映形狀填滿空間的能力：越複雜、越「鋪開」的形狀，維度越高。

分形維度怎樣估：一個簡單的「格子計數」方法

想要量化「有幾分像一條線，又有幾分像一塊面」，我們常用「格子計數」這種直觀做法：

把影像覆蓋上一張方格紙，數一數需要多少個格子去覆蓋形狀。
把格子縮小一半，重新覆蓋再數一次。
重複幾次，觀察「格子縮小多少、需要的格子數目增加多少」。

如果每次把格子邊長減半，覆蓋所需格數就增加大約2的某個次方，那個「次方」的大小，就告訴你分形維度大約是多少。它不是要算得天衣無縫，而是提供一把「幾何尺」，讓我們比較不同形狀在空間中延展的程度。

植物的分形：蕨類、橋木與樹的「生長規則」

走在郊野公園，常見的蕨類（例如鐵芒箕）就是典型分形。它的主幹生出分枝，分枝再生出更細的分枝，如此循環，形成層層遞進的自相似結構。其實不少古代生物的形態，都偏向這種「枝上再長枝」的分形生長。

更有趣的是，我們能用電腦「以假亂真」地生成葉形。只要交給電腦幾個簡單的參數，例如：

主幹的彎曲方式；
在哪些位置長出分枝；
分枝的長短與粗幼如何隨位置變化；
分枝與主幹的夾角；

然後把這些規則不斷重複、由大到小地套用下去，便能生出極像真的葉形與樹形。不同植物，只是「規則表」略有差異：有些在三分之一處長枝，有些在四分之一與四分之三處長葉；角度、彎度、縮放比例各有不同，最後便呈現出千變萬化的物種形態。

人體內的分形：肺、血管與淋巴網路

我們的呼吸系統同樣是分形的經典。氣管分為支氣管，再到更細的小支氣管，最後抵達肺泡。這種層層分支的三維網路，讓有限的胸腔空間容納近乎「無限」的交換面積：面積愈大，氧氣與二氧化碳交換愈有效，肺活量就愈好。若主幹受損、分支變少，或最末端的肺泡被阻塞，即使體積相同，總交換面積也會大減，功能自然下降。

同一思路適用於血管與淋巴系統：動脈、靜脈再到微絲血管，像一張介乎二維與三維之間的分形網，在有限體積內把養分、氣體與免疫細胞送到身體每個角落。這就是「有限體積，藏著極大長度與面積」的分形效益。

雪花與結冰：維度在成長中提升

把雪花放大觀察，你會見到冰晶並非「一下子整團結成」，而是從某些方向先長出枝節，再逐步被更多水分子整齊地堆砌。枝節上又長出更細的枝節，自相似地蔓延，最後填滿空間，形成完整的三維晶體。

在這個過程中，形狀的「有效維度」是動態提升的：由近似一維的細枝，長到像二維的雪花平面，再走向三維的厚度。水分子的結構與排列規律主導了這條路徑；若換成其他流體，冰晶形態也會不同，分形維度的變化曲線亦會改寫。

從醫藥到環境：分形幫我們建立更好的模型

當藥物、顯影劑或有毒氣體進入身體，它們如何在這張分形管網內擴散、停留、被代謝？傳統模型未必能捕捉到這種「在複雜網路裡流動」的行為，而分形幾何提供了一套更貼近現實的思路：把人體視為介乎二維與三維的分形通道，估算物質如何沿著不同尺度的分支前進與滯留。這不等於能「完全準確預測」，但能顯著改進我們對藥效持續時間、擴散速度與劑量分配的評估，有助用藥更精準。

同樣地，環境中的擴散（例如污染物在河網或土壤孔隙中的蔓延）也常呈現分形特徵。更好的分形模型，意味著更可靠的風險評估與治理策略。

金融市場與分形微積分：當自相似遇上價格走勢

把金價或指數的長期走勢拿來「切割放大」：五年期像什麼、一年期像什麼、兩個月又像什麼？不少情況下，你會發現局部的上落形態與整體相似，顯示一種跨尺度的自相似。若如此，分形就可能是更合適的描述工具。

這裡常用一個觀念叫「分數階微分」：在中學，我們學到一次微分代表速度，二次微分代表加速度；那「1.5次微分」或「2.47次微分」有沒有意義？在具有分形特性的數據上，它們有時能更好地捕捉「記憶效應」與「粗糙度」。另外，估算價格曲線的分形維度，或可作為市場狀態的輔助指標：例如維度由1.4轉到1.6，可能代表波動結構的質變（例如從牛皮轉為恐慌），為風險管理提供參考。當然，市場受眾多因素影響，分形不是水晶球，但它提供另一把尺，讓模型更接近觀察到的現實。

資料與網路的分形視角：從地球到社群

不少自然與社會數據都呈現分形：地表溫度的時序變化、人口與城市的空間分佈、亞馬遜雨林的砍伐斑塊、以至互聯網與社交網路的連結。它們往往展現「局部像整體」的關係，以及跨尺度的重複規律。當新科技或政策出現，分形維度或連結模式的改變，可能就是「質變」的信號，提醒我們網路的「六度分隔」或「四度分隔」正在被改寫。