【深造物理】紅移系數 z 是什麼？用日常直覺看懂宇宙的拉伸刻度

當你站在港鐵月台，看著對面列車逐漸駛遠，車燈顏色沒有改變，但感覺聲音的頻率在變，這是多普勒效應的日常版。天文學家看的是光的頻率，遠方星系的光譜像被人輕輕拉長，從藍偏向紅，這個拉長的程度就用一個非常好用的無量綱數字表示：紅移系數 z。理解 z，就好像拿到一把宇宙的膠尺和時鐘，能量度距離、看見歷史，甚至讀出宇宙加速膨脹的秘密。

紅移系數 z 的直觀定義

紅移指的是光的波長被拉長。最核心的定義：

z = (λ觀測 − λ發射) / λ發射
等價地寫成 1 + z = λ觀測 / λ發射

如果 z 為正，代表波長變長（偏紅）；z 為負，代表藍移。常見的氫原子 Hα 光譜線在實驗室的波長是 656.3 nm。如果在星系光譜中看到它出現在 721.9 nm，那 z ≈ (721.9 − 656.3) / 656.3 ≈ 0.10。這個 0.10 不是百分比的隨意數，而是可直接跟宇宙學量聯繫起來的尺度比。

以頻率 ν 來看，因為 λν = c，也有 1 + z = ν發射 / ν觀測；能量 E 與頻率成正比，紅移同時代表光子能量被稀釋。

三種紅移：同樣變紅，物理不一樣

類型	物理原因	使用場景
多普勒紅移 Doppler	光源與觀測者相對運動（狹義相對論）	恆星風、雙星、星系內氣體流
宇宙學紅移 Cosmological	空間本身膨脹，光在傳播途中被拉伸	遙遠星系、類星體、宇宙微波背景
引力紅移 Gravitational	光子爬出重力井而損失頻率（廣義相對論）	緻密天體附近、黑洞附近、星系團勢阱

在宇宙學尺度上，主角幾乎總是宇宙學紅移；但在星系內部或星系團內，三者可能同時存在，需要小心分辨。

z 與宇宙尺度因子：1 + z = a現在 / a當時

宇宙學的精華在於這條關係：當空間尺度因子 a(t) 膨脹時，光的波長跟著一起被拉長。於是：

1 + z = a現在 / a發射

看見 z，其實就是看見當年的宇宙大小。舉例：

宇宙微波背景 CMB 來自 z ≈ 1100，那時宇宙尺寸約只有現在的 1/1100；溫度也相應高約 1100 倍。
再電離時代大致在 z ≈ 6–10，第一批恆星和星系讓宇宙由中性變成電離。

從 z 到速度與距離：何時可用 v ≈ cz

在很小的紅移（z ≲ 0.1）下，可以近似把紅移當作多普勒效應，退行速度 v ≈ cz。與哈勃–勒梅特定律配合：

v ≈ H0 d，小 z 時 d ≈ cz / H0

H0 的測量存在張力：本地距梯等方法常得約 73–74 km/s/Mpc，而 CMB 推演常得約 67–68 km/s/Mpc。日常估算常用約 70 km/s/Mpc 作為心算。注意：在較大的 z，宇宙學紅移不等同於狹義相對論的速度，因為不是物體在靜止空間中移動，而是空間在膨脹。若硬要用狹義相對論速度與紅移的關係：

對純多普勒：1 + z = sqrt((1 + β)/(1 − β))，β = v/c = [(1 + z)^2 − 1]/[(1 + z)^2 + 1]

但對宇宙學紅移，以上公式不適用於全域距離的解讀，正確做法是用宇宙學模型積分 H(z)。

H(z) 與宇宙成分：用 z 探測暗能量

宇宙的膨脹率 H 隨時間變化，寫成 H(z)。在平直宇宙的標準模型下：

H(z) = H0 × sqrt[ Ωm (1 + z)^3 + Ωr (1 + z)^4 + ΩΛ ]

Ωm 是物質密度參數，Ωr 是輻射，ΩΛ 是暗能量。透過測量標準燭光（如 Ia 型超新星）的光度距離 dL(z)、標準尺（如重子聲學震盪 BAO）的角尺度，以及宇宙微波背景的聲峰，我們可以同時約束 Ωm 和 ΩΛ，並發現宇宙在近代呈現加速膨脹。這就是 2011 年諾獎的核心發現。

多種距離的概念：為何一個宇宙有那麼多距離

在膨脹宇宙中，距離不再只有一種定義。常見的包括：

共動距離 dC：把今天的尺度凍結量度的座標距離，來自積分 c / H(z)
光度距離 dL：由亮度衰減定義，F ∝ 1 / (4π dL^2)
角直徑距離 dA：由角大小推回的實際大小，θ ≈ 尺寸 / dA

它們之間有漂亮的關係：dL = (1 + z)^2 dA。這關係導致一個有趣結果：星系的角大小隨 z 先變小，之後在 z 幾左右會開始看似變大，這不是望遠鏡壞了，而是宇宙幾何與膨脹的聯合作用。

觀測怎樣量 z：從光譜線到顏色

光譜紅移 spectroscopic redshift：用明確的譜線（如氫的巴耳末系、氧的雙線、Lyman-α at 121.6 nm）對位，精度可達 Δz ~ 10^-4 或更好，是黃金標準。
光度紅移 photometric redshift：用多個濾鏡的顏色推算，依賴訓練與模板，精度典型 σz ≈ 0.02–0.05 × (1 + z)，但可快速為上億天體估 z。
Lyman 斷裂選擇：高紅移星系在 Lyman 極限短波端被吸收，顏色出現明顯斷裂，可挑選 z > 3 甚至更高的天體。
21 公分線：中性氫的 1420 MHz 射電線在高 z 被拖到百 MHz，為追蹤再電離前後大尺度結構的關鍵。

做星系演化或宇宙學，都要處理 K 校正（K-correction），意思是把因為紅移而移動到不同濾鏡的光譜能量分佈補正回來，才可公平比較不同 z 的本徵亮度。

紅移空間扭曲與本動速度：星系團的手指

星系除了跟著宇宙膨脹，還有本地引力造成的本動速度（peculiar velocity）。這會在紅移空間造成形狀扭曲：

小尺度 Fingers of God：星系團內速度弛豫大，沿視線方向被拉長成像手指。
大尺度 Kaiser 扁平化：結構在重力下向密度峰匯聚，統計上沿視線方向被壓扁。

這些效應既是干擾，也是訊號。從紅移空間扭曲，我們能量度結構增長率 fσ8，測試廣義相對論與暗能量模型。

超光速退行？為何不違反相對論

在足夠遠的距離，退行速度 v = H0 d 可超過光速，但那不是物體穿過空間超光速，而是空間尺度在增長。相對論禁止局部穿越介質的超光速，不禁止度量本身的演化。與此相關的還有哈勃半徑與宇宙學地平線：有些區域的光今天永遠到不了我們，但我們仍可看到它們過去的狀態。

紅移與宇宙時間：回望時間與年齡

紅移其實是一個時間座標。回望時間 tL(z) 來自積分 1 / [(1 + z) H(z)]。雖然計算需模型，但有一些直觀刻度：

z ≈ 0.1：回望約 1–1.5 十億年
z ≈ 1：回望約 7–8 十億年
z ≈ 6：回望約 12–12.5 十億年（接近宇宙年齡）

宇宙年齡約 138 億年是由全套資料（CMB、BAO、超新星）共同推定的。

一個實算例子：用 Hα 算 z、距離與時間

假設在一個星系的光譜中看到 Hα 出現在 721.9 nm：

z = (721.9 − 656.3) / 656.3 ≈ 0.10
小 z 近似距離：d ≈ (c z) / H0 ≈ (3.0 × 10^5 km/s × 0.10) / (70 km/s/Mpc) ≈ 430 Mpc（粗略）
回望時間：取標準宇宙學，約 1.3 十億年（需用 H(z) 積分精算）

真的做科學分析時，會用宇宙學計算器輸入 z 與參數（H0、Ωm、ΩΛ），輸出 dC、dL、dA、tL 等。

偵測宇宙加速與未來的紅移漂移

Ia 型超新星：比較不同 z 的 dL(z) 與均勻減速的預期，發現宇宙在最近幾十億年開始加速。
重子聲學震盪 BAO：在星系分佈中的標準尺，讓我們量度 dA(z) 與 H(z)。
重力波標準警報器：雙中子星合併提供絕對光度距離，配合宿主星系的 z，給出幾何式的 H0 測量。
紅移漂移 Sandage–Loeb：直接量將來幾十年內同一高 z 吸收線的 Δz/Δt，訊號相當於每年幾厘米每秒的速度變化，極難但具決定性，歐洲極大望遠鏡與 SKA 正朝此目標努力。

系統誤差與選擇效應：讀懂數字背後的陷阱

塵埃消光與紅化：會令天體看起來更紅，但那是顏色變化，不是光譜線整體平移。要靠多波段與光譜分離。
Malmquist 偏差：亮的天體更易被選中，會偏誤距離與演化推論。
弱引力透鏡：大尺度結構會放大或縮小亮度與角度，增添散度。
光度紅移校準：需要用一小部分高精度光譜紅移作訓練與驗證，以抑制系統偏移。

別把紅移與其他現象混淆

紅化 vs 紅移：塵埃造成的是顏色改變，光譜線位置不動；紅移是所有譜線按比例整體移動。
本地藍移也存在：仙女座星系 M31 正朝我們而來，z ≈ −0.001，因為本動速度蓋過宇宙膨脹。
引力紅移是局部效應：例如太陽表面的引力紅移約 2 × 10^-6，需高精度方能量到。

幾個常用的心法與小工具

心算小 z：z × 3000 Mpc 大約是共動距離的量級（取 H0 ≈ 70 km/s/Mpc 時）。
1 + z 是一把尺：任何尺度（波長、溫度、能量密度的一些標度）在膨脹中大多按 1 + z 比例縮放。
善用宇宙學計算器：輸入 z 和參數，能同時給 dC、dL、dA、tL。不同參數對曲線的影響很直觀。

更深入的一步：從 z 的分佈看宇宙大結構

把上百萬個星系的紅移位置放在三維空間，你會看到宇宙像蜂巢：絲狀體、牆、空洞。紅移空間的功率譜與雙點相關函數可量度聲學峰，還能從各向異性提取 fσ8。跨調查的交叉相關（例如星系紅移圖與 CMB 之間的積分薛定諤–沃爾夫效應）更能測試暗能量在晚期對重力勢的衰減。

總結：一個數字，兩種工具，三重內涵

一個數字：z，定義簡單，觀測穩健。
兩種工具：它既是宇宙膠尺（透過 dA、dL、BAO），也是宇宙時鐘（回望時間、1 + z 與 a 的比）。
三重內涵：涵蓋多普勒、宇宙學與引力紅移，連結狹義與廣義相對論。

對我們來說，紅移系數不只是一組光譜線旁邊的小數點，它把你手上的港鐵地圖攤開到宇宙尺度：哪裡更遠、哪裡更早、路線如何彎。每次看見 z，你其實是在讀取宇宙歷史的座標。當我們把無數個 z 拼在一起，就能重建從大爆炸到今天的擴張曲線，甚至預測未來的節奏。下一次在新聞看到某星系 z = 7，不妨在腦中按下 1 + z 的鈕：那是八倍拉伸的光，來自宇宙剛學會點亮星空的年代。