【深造物理】為什麼彩虹總是弧形？
下完一場驟雨，在香港或許會見過一條色彩分明的彩虹，像一把倒掛的拱橋。很多人會問：為什麼彩虹總是弧形，從來不是直線、方形，甚至是整個圓？這個問題的答案，其實把幾何光學(geometrical optics)、材料的色散(dispersion)以及觀察者與太陽的相對位置巧妙地串連起來。
生活裡的彩虹與一個關鍵角度
彩虹不是漂浮在某個固定位置的「物件」，而是一組滿足特定角度條件的光線進入你眼睛時，在天空中「被看見」的彩色方向。這個關鍵角度，就是主虹(primary rainbow)的約 42 度：也就是說，和背向太陽的方向(反太陽點，antisolar point)相比，只要某個方向與它的夾角大約是 42 度，你就能在那個方向上看到紅色邊緣的主虹。這個 42 度不是巧合，而是水對不同顏色光的折射(refraction)與反射(reflection)共同作用後，讓光線偏轉(deviation)到一個「最小偏向角」(minimum deviation)附近的結果。
光線在水滴中的旅程：從折射到反射
想像一束陽光射入幾乎球形的雨滴。光線會經歷以下路徑：
- 進入水滴時折射：光速在水中變慢，方向依斯涅爾定律(Snell’s law)改變。對可見光，水的折射率(refractive index)約 1.33，但紅光與紫光略不同，導致色散。
- 在水滴內壁反射一次：對主虹而言，光在水滴內部被反射一次。不同入射角進入的光線，離開水滴時的偏轉角也不同。
- 離開水滴時再次折射：再次經過水-空氣界面，方向再變。
如果把入射角(incident angle)和最後出射方向的偏向角畫成曲線，會發現偏向角對入射角有一個極小值。落在這個最小值附近的光線會傾向「堆積」在相似方向上，使得該方向的光更強、更明顯。對紅光，這個最小偏向角對應到相對反太陽方向約 42.3 度；對紫光則約 40.6 度。因此，同一顆雨滴提供的最亮方向，對不同顏色稍有差異，於是形成外紅內紫的色帶。
為何是圓圈，眼中卻只見弧
把你背後的太陽和你眼睛的連線向前延伸，這條線指向天空中的反太陽點。以反太陽點為圓心，半徑約 42 度(對紅光)的所有方向，構成一個圓錐形的「光錐」。所有落在這個圓錐表面上的雨滴，都以對你而言正好合適的角度，把紅光最亮地反射/折射到你的眼睛。換言之，彩虹的「圓」其實是你為中心、以反太陽點為軸線的一個圓錐的截面。
那為什麼我們多數時候只看到一段弧？因為地平線阻擋了圓的下半部。當太陽在近地平的清晨或黃昏較低時，反太陽點在你前方較淺的地下，42 度半徑的圓比較高地掛在天空，弧就更完整、更高拱。當太陽升高，弧會越來越低，直到太陽高度角高於約 42 度時，整個主虹的最高點也跌到地平線以下，你就難以在平地上看到主虹了。
如果你身處高空，例如乘坐飛機、昂坪纜車上空遇到陽光照在雲滴上，或者站在瀑布、山崖旁邊往下看霧滴，有機會看到「完整的圓形彩虹」。這不是罕見的魔法，而是幾何條件終於讓整個光錐與視野相交的結果。順帶一提，常在雲海上圍繞飛機影子的那個彩色小圓環叫「寶光」(glory)，跟彩虹的成因不同，屬於多重散射與波動效應的後向散射(backscattering)現象。
顏色順序與色散：紅外紫內的理由
水對不同波長的光，折射率略有不同：一般而言，波長越短(偏藍紫)，折射率越高，偏折越大。對主虹來說，偏折越大代表相對反太陽方向的角度越小，於是紫光在內側，紅光在外側。以常見數值為例：
| 彩虹類型 | 顏色順序 | 典型角度(相對反太陽點) |
|---|---|---|
| 主虹 (Primary) | 外紅內紫 | 紅 ≈ 42.3°，紫 ≈ 40.6° |
| 副虹 (Secondary) | 外紫內紅 | 紅 ≈ 50.4°，紫 ≈ 53.4° |
這些角度來自斯涅爾定律和偏向角對入射角的最小值計算。對初學者，一個直觀比喻是：不同顏色像不同折射率的「齒輪」，在水滴這個小透鏡-反射體的機械中，被「卡」在最容易出來、最亮的角度附近。
次級彩虹、亞歷山大暗帶與「雙虹」
有時你會在主虹外側看到更淡的一條彩虹，那是副虹。它的光路是在水滴內部反射兩次，才離開水滴。這讓最亮角度移到更大的角度(約 50–54 度)，同時顏色順序顛倒：外側變成紫，內側是紅。主虹和副虹之間有一段較暗的區域，稱為亞歷山大暗帶(Alexander’s band)。因為在這些角度附近，水滴很少把光集中出來，亮度自然较低。
偶爾你會看到似乎兩條彼此很靠近、顏色相同方向的「雙虹」，其中一條不符合副虹的顛倒色序。這類被稱為「孿生虹」(twinned rainbow)，常與不同大小的水滴同時存在有關；不同水滴大小令最亮角度略為不同，於是出現兩條相近的主虹。
幾何核心：最小偏向角與圓錐
如果以數學眼光看，主虹的 42 度來自偏向角 D(i) 的極值。對於一次內反射的光路，可以寫成 D = 180° + 2i − 4r，其中 i 是入射角、r 是折射角，兩者由斯涅爾定律 n sin r = sin i 聯繫。把 D 對 i 微分並令其為零，就得到極小值 i* 與 r*，進而得到 D*。而真正映入你眼睛、在天空定位的，是相對反太陽方向的角度 180° − D*，因此落在約 42 度。這個極值的存在，保證了大量光線在這個角度附近「堆疊」，形成明亮色帶，也確保了等角度的方向形成一個同心圓錐，幾何上自然就是圓(在天空半球上看成弧)。
波動觀點：超數弧與細緻條紋
純幾何光學能解釋彩虹的大致位置與顏色順序，但如果你細看主虹內側，常會見到 1–3 條淡淡的附加彩色細線，稱為超數弧(supernumerary arcs)。這是波動光學的干涉(interference)效應：穿過水滴的相鄰光路相位差接近整數或半整數倍波長時，會相長或相消，讓某些角度特別亮或特別暗。超數弧在水滴比較小而且分佈較窄時最清楚，毛毛雨時常見，因為小水滴讓波動特徵更明顯。幾何角度仍決定「主架構」，波動效應則在其上微雕刻出精致的亮帶。
水滴大小、形狀與都市彩虹
- 大小影響色彩飽和：較大水滴(例如暴雨的滴)使彩虹色帶更飽和、邊界更清楚；較小水滴(如細雨或霧滴)使彩虹偏粉、模糊，甚至轉為「霧虹」(fogbow)，呈白色寬弧。
- 形狀輕微偏差：小水滴因表面張力接近球形；大水滴在下落時會略呈扁球形(oblate)，這會微調亮度分佈與角度，偶爾導致孿生虹等現象。但對於「為何是弧形」的核心幾何，球形近似已相當足夠。
- 都市條件：香港濕度高且常有對流陣雨，午後當對岸仍有降雨而你這邊放晴、太陽在後方偏低時，是捕捉彩虹的高機率時段。海面、維港或濕地附近因為水滴來源豐富，亦常見局部陣雨配合陽光的情境。
太陽高度、觀測幾何與何時能見
- 可見條件：主虹要可見，太陽高度角(相對地平線)通常需低於約 42 度。因為彩虹中心在反太陽點，它位於地平線下方，距離即為太陽的高度角；主虹的最高點高度約為 42° − 太陽高度角。若太陽高於 42 度，最高點落到地平線以下，平地上通常看不到主虹。
- 圓形彩虹：在飛機上、山崖邊或高樓上向下看雨滴或雲滴時，整個 42 度圓錐都能與你的視野相交，完整圓圈就出現。
- 每人各自的彩虹：你的彩虹只屬於你。站在你旁邊的人所看到的彩虹，來自另一批與他眼睛成 42 度的雨滴，位置略有不同。彩虹不是固定掛在遠處的一幅「畫」，而是由你、太陽、雨滴三者的幾何關係瞬時構成的影像。
偏振(polarization)與偏光太陽眼鏡的小實驗
彩虹光線在出射時，因為反射與折射的界面具有方向性，會呈現高度線偏振(linear polarization)，偏振方向大致沿著彩虹弧的切線。這解釋了為何有時你旋轉偏光太陽眼鏡，彩虹的亮度會顯著改變：當眼鏡的偏振軸與彩虹光的偏振方向一致或垂直時，亮度會被強化或抑制。對想拍出更鮮明彩虹的攝影愛好者，適度旋轉偏光鏡是有效技巧之一。
常見誤解與相似現象
- 直線或方形彩虹？不會。由於「等角度」定義了圓錐，與天空交會得到圓形(或其可見部分的弧)。直線或非圓形輪廓與彩虹機制不符。
- 把冰暈當作彩虹：晴天時太陽旁常見的「日暈」(halo)或環天頂弧(circumzenithal arc)，是冰晶對光的折射/反射所致，角度固定在 22 度、46 度等，顏色亦較淡，機理與雨滴彩虹不同。
- 月虹(moonbow)：與日虹機制相同，但光源是月亮。因月光弱，月虹多呈白色或暗淡色，需要暗處與長時間曝光攝影較易記錄。
一步到位的視覺圖像：把彩虹想成「你與太陽定出的光錐」
要把弧形的來源一語道破：背向太陽，想像從你眼睛穿出去的「光錐」，半角約 42 度。凡是被雨滴填滿、並洩出足夠紅光的那一圈方向，就會在你視野中亮起紅邊的弧。不同顏色因折射率不同，對應的光錐半角略有差異，於是形成一圈圈顏色略有偏移的彩帶。地平線把下半圈切掉，於是留下熟悉的弧形。
在香港觀賞彩虹的小建議
- 時間：午後雷陣雨後的傍晚最常見，太陽低且對流雲雨帶容易與晴空交錯。
- 站位：背向太陽，視線瞄向有降雨的方向。水面與城市空曠地帶對比強，彩虹更醒目。
- 裝備：偏光鏡可提升對比；廣角鏡頭可把整段弧納入畫面。
結語：弧形是一種幾何的必然
彩虹之所以總是弧形，不是因為天空替我們畫了拱，而是因為水滴對陽光的折射與反射，在接近最小偏向角時把光聚焦到一個「等角度」的圓錐上。這個以你與反太陽點為軸心的圓錐，與天空相交，便成了我們看到的弧。當你下次看到彩虹時，不妨記得：那是一個以你為中心、由無數水滴共同「計算」出的幾何圖案。弧形並非偶然，而是物理學從微觀折射率到宏觀天幕共同演出的必然。
