【原子5】為何原子只發出『某幾種顏色』？波爾模型也有缺失？
想像一下，你在公屋梯間望着樓梯：每一級有固定高度，你不能站在半個級距上；要由一級走到三級，必須跨兩級。把這個畫面縮小一萬億倍，就是波爾（Bohr）提出的原子想像：電子不是可以任意距離繞着核〈太陽〉打圈，而只能在某幾個「特定圈位」上穩定存在。這個簡單但深刻的想法，幫助我們理解為什麼原子發出的光不是連續的彩虹，而是由一些獨特的顏色（光譜線）組成。
能階與躍遷：用樓梯比喻電子的『跳級』
波爾模型把電子的軌道量化──也就是說，電子只能在第1、2、3……層（用正整數 n 表示）上存在，不能是 1.5 或其他小數。當電子要由低能階跳到高能階（例如被光子或另一個電子撞擊），必須吸收剛好等於兩層能量差的能量；反過來，當電子從高能階掉回低能階時，差出來的能量會以一個光子的形式放出。
想像你用球拍把乒乓球打上台階。如果你打的力道只夠讓球升一層，它就停在下一層；若力道不足，它不會停在介乎兩級之間的半空。電子的躍遷也是如此；能量不是任意，而是被鎖定在兩個能階的差值上。
為什麼只會看到某些顏色？光譜線的由來
光的顏色（波長或頻率）直接由光子的能量決定：能量越高，波長越短（向紫、紫外移）；能量越低，波長越長（向紅、紅外移）。因為原子的能階差是固定的，當電子躍遷時放出的光子能量也固定，於是我們在光譜上只看到一條條離散的線，而不是一條連續的彩虹。
舉個實際例子：氫原子的 Lyman 系列指的是所有掉回 n=1（最底層）時放出的光線。由無限遠掉到 n=1、由 n=2→1、n=3→1 等，每一條都對應不同能量，因此出現在不同波長的位置，通常屬於紫外或更高能量區域。相反地，掉到較高一層（例如 n=2）所放出的光會較偏紅，像人眼可見的紅色或近紅外。
波爾模型如何計算能量與波長（用最基本的公式說明）
我們可以把原子總能量視為電子的動能加上電子與核之間的位能（像拉簧的儲能），把經典電磁的知識加一點量子條件，就能得到一套簡單的公式：
1) 電子在第 n 層的能量大致呈現負值，且與 1/n^2 成反比。換句話說，能量 E_n ≈ −(常數)/n^2。常數在氫原子上約為 13.6 電子伏特（eV），所以 E1 ≈ −13.6 eV，E2 ≈ −3.4 eV，E3 ≈ −1.51 eV。
2) 兩層之間的能量差 ΔE = E_upper − E_lower。如果電子從 n=3 掉到 n=2，ΔE ≈ (−1.51) − (−3.4) = 1.89 eV。把能量換成波長可用簡單關係：光子的能量 E = h f（h 是普朗克常數，f 是頻率），而波長 λ 與頻率的關係是 λ = c / f（c 是光速）。組合起來常寫成 λ = hc / ΔE。
以剛剛的 ΔE = 1.89 eV 為例，換算就得到 λ ≈ 656 奈米（nm），這正是氫原子的著名 H-alpha 線，是一條紅色線，常見於恆星光譜與天文觀測。若是 n=3 掉到 n=1，ΔE ≈ 12.09 eV，得到 λ ≈ 102.6 nm，就落在紫外線範圍，對人眼不可見。
角動量量子化與波以半徑：為何不能連續？
波爾模型還提出另一條量子規則：電子繞核的角動量不是任意的，而必須是普朗克常數除以 2π（記作 ħ）乘上一個正整數 n。這有點像弦樂器的駐波模式：只有當弦放出整數個半波長時，駐波才穩定存在；否則振動會干擾消失。
這個條件進一步讓電子的軌道半徑 r_n 與 n 的平方成正比：r_n = n^2 a0，其中 a0 稱為波以半徑（Bohr radius）。波以半徑大約是 0.529 × 10^−10 米，也就是 0.529 埃（Å，1 Å = 10^−10 m）。如果想像氫原子最底層電子的軌道直徑，大約就是 10^−10 米的量級；這也是為何我們常說原子尺度約在 10^−10 到 10^−9 米之間。
從這個模型看到的成功與限制
波爾模型吸引人之處在於：它用相對直觀的半經典畫面（像行星繞太陽）結合少數量子條件，便能準確預測氫原子的光譜線位置與能量值（例如 Lyman、Balmer 等系列）。這是科學上重要的勝利：實驗上看到的光譜線與理論計算吻合，讓人對量子化的概念更有信心。
但波爾模型也不是萬能的。它在多電子原子、電子自旋、軌道形狀（非單純圓形）等問題上無法完整處理。後來發展出的量子力學（波函數、薛定諤方程）才給出更完整、更一般性的描述。不過，波爾模型仍是理解量子世界的一個極好入門：它清楚地把「為什麼是那幾條光」和「為什麼電子不能任意近核」的直覺講明白。
量子效應與微小世界：為何微縮有極限
我們日常在電子產品上追求微縮，例如晶片上的電路愈小愈快。然而，當尺寸逼近原子尺度（大約在 10^−8 到 10^−10 米）時，量子效應會主導行為：電子不再像小球可以任意走位，而表現出波動性、能階離散與隧道效應等奇怪現象。這些都是我們必須面對的物理「限制」，也為新技術（例如量子電腦、單電子元件）提供機會。
所以，微縮到某一程度不是單靠工程就能解決，而是要靠理解量子規則，重新設計運作原理。
總結來說，波爾模型雖然簡單，但抓住了兩個核心：電子能被量化地鎖在某些圈位（能階），以及能階間的差值決定了光子的能量（因此決定顏色）。用日常熟悉的樓梯、駐波和行星繞行的比喻，可以讓沒有物理背景的人也直觀明白：原子不會發出任意顏色的光，而是由這些量化的躍遷決定了宇宙的光譜表演。
