【量子3】量子隧道效應如何應用？

在日常世界，我們早已習慣「夠數先過關」：八達通要夠值才能過閘，體力要夠才爬到山頂。直覺告訴我們，能量不夠，就跨不過障礙。但在微觀的量子世界，事實竟然可以「另有出路」——粒子即使能量不足，仍有機會穿過障礙，像在牆上打開一條沒人看見的隧道。這就是量子隧道效應。

山不用爬到頂？一個直觀的圖像

想像你面前有一座十級高的台階，你最多只能跳到八級。經典常識說：過不了——因為能量不夠。「量子版本」卻說：你仍有一點點機會出現在台階另一邊，好像突然「穿過」了欄杆。為何？因為在量子層次，每一粒物質不只像小球，還同時帶有「波」的性格。這種波不是海浪，而是代表機率的波：哪裡波峰高，粒子較大機會在那裡出現。

如果障礙不是「無限高、無限厚」，這道機率之波就不會完全被擋住，它會在障礙內迅速變弱，但仍能「漏」一些到另一邊。因此欄杆右側的出現機率不是零，只是很小。翻譯成生活比喻：在經典世界，你不開門硬撞，只會撞痛自己；在量子世界，若你「嘗試」無數次，理論上終會有那麼一次穿門而出——機率極低，但不是零。

從「波」到方程：隧穿怎樣被預言

量子力學用一條核心方程捉到這件事的精髓：薛丁格方程。它負責告訴我們機率波如何在空間演化。當我們把「無限深井」或「有限深井」的教學模型，變成「一堵有限高的牆」，再用方程求解，就會看到：牆左的入射波，穿過牆後會留下較小的波。數學語言說，波在牆內指數式衰減，但不會瞬間歸零，於是牆後仍有「存活」的機率。

這也解釋了兩個關鍵直覺：一是牆越厚、越高，穿過的機率就越低；二是粒子越「重」、波長越短，隧穿就越難。因此像人這樣龐大的物體要「透牆」幾乎不可能——那個機率小到在宇宙壽命內都等不到一次。

量子與經典之間：界線在哪裡？

量子特性在微小尺度特別明顯。當電子被困在很細小的範圍，例如原子核周圍，它的「波動性」就更強。尺度一放大，無數微小機率平均起來，世界便恢復我們熟悉的經典樣子——球是球，門是門，沒有人會隨意穿牆。這條由微觀到宏觀的「過渡」究竟在哪裡切換，至今仍是研究者努力把握的難題，但基本方向清楚：越小越量子，越大越經典。

太陽為何點得著：隧穿在核聚變中的角色

太陽核心不停進行核聚變：帶正電的氫原子核互相靠近、結合，釋放能量。按經典估算，要讓兩個同樣帶正電的原子核克服靜電排斥，理應需要極高溫度（上億度）。然而，觀測告訴我們：太陽核心只需數百萬度便能進行聚變。秘密就在量子隧道效應——即使能量未達「應該要有」的高度，仍有小機率「穿」過排斥的屏障，靠近到足以讓強作用力把它們黏在一起。沒有隧穿，像太陽這樣的恆星要被點燃會困難得多。

同一個道理也提醒我們：任何有關核聚變門檻的估算，都要把隧穿的機率納入，否則會高估所需條件。當然，這不代表低溫也能輕鬆聚變——溫度越高，擁有高能量的粒子越多，隧穿與反應就越容易發生。

「摸」出原子級地形：掃描式隧道顯微鏡

用光學顯微鏡看世界，解析度由光的波長決定；想看更細，就要用更短波長、更高能量的光，但能量過高又會破壞樣品。科學家於是靈機一動：可否不靠光，而靠量子隧穿？

掃描式隧道顯微鏡（STM）正是這個妙招。做法是把一支非常尖的金屬探針放到樣品表面上方，距離近得只差幾個原子的空隙。在這樣的超短距離下，表面電子有機會隧穿到探針，形成微小電流。當探針在表面掃過，若下面有一點「凸」起，距離更近，隧穿機率上升，電流變大；遇到「凹」位，電流變小。因為隧穿電流對距離極其敏感（距離稍增，機率就大降），我們便能把這些電流變化翻譯成精細的「地形圖」，甚至看到單個原子。

STM讓我們不必用高能量光去「照」，而是用隧穿電流去「摸」。這是量子隧道效應最實用、也最震撼的應用之一。

波函數是一個「資訊倉」：怎樣從中取出可觀測量

量子力學用「波函數」來描述系統的全部資訊。它像一張結合地圖與天氣概率的圖層：每個位置都有一個「出現機率」的指示。要從這個資訊倉取出我們想知道的量（例如位置、動量、能量），步驟其實跟統計學計「加權平均」很像。

以位置為例：把「每個可能的位置」乘上「在那裡出現的機率」，然後把所有位置的結果「加總」起來（連續空間就把「加總」換成「連續地加」），得到的就是「預期位置」。動量、能量等也可以做同樣的事，只是先各自套用一個合適的「運算工具」（量子論稱為運算元）來提取對應資訊，然後再做加權平均。由此可見，波函數確實「藏著」量子系統可被量度的內容，而我們用一套統一的程序把它們抽取出來。

為何人不能穿牆：一個量級的答案

有人會追問：既然機率不是零，人會不會有一天穿牆？理論上，機率確實大於零；實際上，對宏觀物體，這個機率小到無法想像。原因有二：一是人體質量巨大，相關機率以指數方式被壓低；二是牆的厚度與高度都很可觀，令隧穿幾乎完全被抑制。換言之，你要等待的時間遠超過宇宙年齡。最實際的建議仍然是——請用門把。

重點整理

• 量子隧道效應：粒子即使能量不足，也有小機率穿過有限高的障礙，因為物質同時具波的性格。• 隧穿機率受障礙高度與厚度、以及粒子質量與波長影響；障礙越「難」，隧穿越罕見。• 薛丁格方程預言隧穿：機率波在障礙內指數式衰減，但不為零。• 宏觀世界看不見隧穿：大量粒子與大尺度使量子效應被平均掉。• 重要應用與例子：太陽核聚變得以在較低溫度發生；STM用隧穿電流「摸」出原子級地形。• 波函數像資訊倉：可用「加權平均」的思路，配合適當運算工具，抽取位置、動量、能量等可觀測量。

結語

量子隧道效應提醒我們：自然界的底層規律，並不總是服從日常直覺。當我們把視野縮小到原子與電子的尺度，世界忽然開了一道「隱形通道」，讓能量不夠的粒子仍有機會越過障礙。這條通道一方面點亮了恆星，另一方面也讓人類「看見」原子。理解它，不止是為了驚嘆，更是為了學會在微觀與宏觀之間切換視角：山仍要爬，但在量子世界，有時候，山裡真的有隧道。