【分形1】一條線為何可以「一點幾維」？
日常生活中，我們習慣把世界分成一維的線、二維的面、三維的立體：一條路是線，紙張是面，足球是立體。但有沒有想過，有些形狀其實是「介乎」其間的？好像比一條線更「肥」，卻又填不滿一個平面；又或者比一張紙更「厚」，卻未至於實心地塞滿三維空間。這種介乎之間的「幾多維」，正是分形最迷人之處。本文會用最貼地的例子——由尺子量長度、到把紙張攥成球，再到兩個經典分形——一步步帶你看懂維度如何用數學定義，為何會出現「1.26維」或「1.585維」這樣聽來不可思議的數字。
什麼是「維度」？從空間佔據能力出發
直覺上，維度可以理解為「一個形狀填滿空間的能力」。一條線只佔一條方向；一張紙能鋪展在平面上；一個立方體則能在三維空間中「吃」到體積。這種「佔據能力」和長、面積、體積之間的關係，有一套簡潔而有力的縮放規律。
想像一段長度為2的線段。若把它「延伸」成二維的正方形（邊長也是2），面積是2×2=4。再把它「延伸」到三維變成立方體（邊長2），體積是2×2×2=8。換句話說，2的一次方是長度，二次方是面積，三次方是體積。同樣地，若邊長為3：一維是3，一張正方形面積是3×3=9，立方體體積是3×3×3=27。這個「邊長的某個次方」的概念，就是維度的數學影子。
從規律到公式：n = r^d
以上例子可以用一條通用關係表達：n = r^d。這裡的意思是：當你把一個形狀的尺度放大r倍，它會需要n個「同樣形狀的小塊」去拼回來；而d，就是它的維度。對一般的線、面、體來說，這條式子自然成立：例如把一條線放大3倍（r=3），需要3段同樣的線（n=3）才能拼回，所以d=1；把正方形邊長放大3倍，面積會大9倍（n=9），於是d=2；把立方體邊長放大3倍，體積變27倍（n=27），故d=3。
要把d從式子中解出來，可以用對數這個工具。對數最簡單的理解，就是把「指數幾多」這件事反過來計算。由n = r^d兩邊取對數，得到log n = d × log r，於是維度d = log n ÷ log r。這個對數技巧的關鍵，只是把「次方」搬到前面，令維度變成可量度的數字。
用數字驗證：1維、2維、3維為何正好是1、2、3
回到剛才的「3」這個系列：若在一維，長度是3；在二維，面積是9；在三維，體積是27。代入公式可檢驗：d = log 3 ÷ log 3 = 1；d = log 9 ÷ log 3 = 2；d = log 27 ÷ log 3 = 3。這些都是我們熟悉的結果，但更重要的是，這條公式同樣能處理「介乎其間」的情況，亦即分形的維度。
分形是什麼？「一點幾維」如何誕生
分形有一個常見特性：自相似。你放大一部分，會見到和整體相似的細節。這些圖形在幾何上並不把平面或空間「填滿」，但比傳統的一條線更懂得「拐彎、探索」，因此能佔到更多空間。我們用同一條公式 d = log n ÷ log r 來量化這種填充能力。
經典例子一：Koch 雪花曲線，d = log 4 ÷ log 3 ≈ 1.26
Koch 曲線的規則是：把一段線分成三等分，把中間那段「凸」起一個小山，整體就由原本的一段，變成了4段，每段長度縮為原來的1/3。這代表放大倍率r = 3，而相似的小段數目n = 4。代入公式得到 d = log 4 ÷ log 3 ≈ 1.26。直覺上，它仍然像條線，但因為無止境地加上「小尖角」，它比直線更能「黏」到平面，於是維度就升到一點幾。
你可以把它想像成在街市買菜：一條直線好比你沿直路行去目的地；Koch 曲線則是不停在路邊小店左拐右拐，行得更多地方，雖然仍在一條「路徑」上，但覆蓋範圍明顯更大。
經典例子二：Sierpinski 三角形，d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.585
另一個常見分形是 Sierpinski 三角形：把一個等邊三角形分成4個較小的等邊三角形，挖走中間那一個，留下3個。每次縮小的倍率是2（r = 2），保留下來的相似小塊有3個（n = 3），所以 d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.585。這個維度比Koch曲線的1.26更高，亦符合直覺：它更像在平面上鋪開，但仍留有許多洞，未能完全變成二維的「實心」。
把維度理解為「填滿空間的能力」
用同一把尺去看，維度越高，代表越能把空間填滿：1.26維的Koch曲線，比1維直線更會「貼住」平面；1.585維的Sierpinski三角形更進一步，雖未達2維，但確實更接近平面。維度因此不只是數字，而是圖形如何探索空間的能力指標。
家中就能做：用紙團估計分形維度
有一個簡單又有趣的實驗：拿一張紙，撕成兩半，其中一半用手攥成球，量度紙球的直徑；另外那半張再切半，變四分之一，亦攥成球，再量直徑。若你再準備不同大小的紙（例如原張、半張、四分之一張、八分之一張），各自攥成球並量度直徑，把「原紙邊長L」和「紙球直徑D」記錄下來，你就可以用縮放定律來估維度。
關鍵想法是：紙張本來是二維（面積大致與L^2成正比），攥成球後佔據三維空間，但並不實心，內裡有大量空隙，所以它的佔據能力介乎二維與三維之間。我們可假設紙球的「佔據規律」近似遵循 D ∝ L^(2/d)，其中d是這堆纖維狀紙團的有效維度。把多組數據畫成對數圖（把兩邊取對數），會得到 log D ≈ (2/d) log L + 常數。這條線的斜率就是 2/d，於是 d = 2 ÷ 斜率。理想情況下，你會得到一個介乎2與3之間的數字，例如2.2至2.7之類。
現實上，結果會受你攥得多實、紙的厚薄和質地影響，沒有唯一標準答案；但只要方法正確，估出「二點幾維」就是合理的。這個實驗很好地呈現分形的精神：從簡單的量度，讀出形狀如何在空間中擴展。
把公式講人話：n與r各代表什麼
回看 d = log n ÷ log r：r是放大倍率，意思是你把圖形的尺度放大多少倍；n是用多少個「縮小了的、但形狀相似」的小塊，才能拼回放大後的樣子。對一般幾何圖形，n會剛好等於r的一次、二次或三次方，所以d是整數；但對分形，n和r之間的關係落在兩者之間，d就變成小數，恰好刻劃出「介乎維度之間」的空間佔據能力。
延伸想像：三維到四維、甚至時空中的分形
既然我們可以用這個方法理解一維到二維、二維到三維之間的分形，能不能把想像再推前一步？例如在三維到四維之間，或在時空中的分形？數學上確實可以定義更高維的分形與其維度；物理上，某些複雜網絡、破裂紋路、甚至某些擴散過程的路徑，也會呈現出分形特徵。雖然不一定每個例子都易於量度，但「用縮放看規律」這個核心方法，仍然是我們理解複雜形態的萬用鑰匙。
重點總結：用縮放的眼睛看世界
第一，維度可理解為「填滿空間的能力」。傳統的線、面、體分別對應1、2、3維，因為縮放時它們的長、面積、體積分別按r的一次、二次、三次增加。第二，通用關係是 n = r^d，把它改寫成 d = log n ÷ log r，便能用對數把維度精確量化。第三，分形把維度推向小數：Koch曲線的 d = log 4 ÷ log 3 ≈ 1.26；Sierpinski三角形的 d = log 3 ÷ log 2 ≈ 1.585；前者像線但更會貼住平面，後者更接近平面卻仍有無限窟窿。第四，簡單的紙團實驗能讓你在家估到一個「二點幾」的維度，親身感受什麼叫介乎二維與三維之間。當我們用縮放和對數去看形狀，世界的「幾多維」不再只是直覺，而是可被度量、可被比較的科學語言。
下次當你在維港看海岸線的曲折、或者望著花椰菜的層層分叉，不妨想想：它們如何在不同尺度下重複自己？又如何用 d = log n ÷ log r 這把尺，量度它們「填滿空間」的本事？當我們學會以分形的眼睛看世界，複雜，往往會變得更有條理。
